(i) Se
tiver tamanho
e
forem matrizes distintas, então
é linearmente independente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre matrizes e independência linear. A gente tem uma matriz quadrada
de tamanho
e uma sequência de matrizes
todas diferentes umas das outras. A gente precisa mostrar que esse conjunto de matrizes é linearmente independente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é independência linear e como ela se aplica a matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Em termos simples, um conjunto de vetores (ou matrizes, nesse caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta na matriz zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se a gente tiver:
Então, para que isso seja verdadeiro, necessariamente todos os
têm que ser iguais a zero.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso conjunto
. Queremos mostrar que se essa combinação linear dá a matriz zero, então todos os coeficientes
precisam ser zero.
Vamos supor que:
Nosso objetivo é provar que
.
Passo 4
Para fazer isso, vamos usar um conceito importante chamado polinômio mínimo de uma matriz. O polinômio mínimo de
é o menor polinômio não nulo
tal que
. Sabemos que o grau do polinômio mínimo de uma matriz
é, no máximo,
.
Isso significa que, qualquer combinação linear de potências de
de até
pode, em princípio, ser usada para expressar
para
.
Passo 5
No entanto, no nosso caso, as matrizes
são todas distintas. Isso sugere que nenhuma combinação linear de potências menores de
pode expressar uma potência maior, já que todas são únicas.
Se fosse possível expressar uma dessas matrizes como uma combinação linear das anteriores, isso implicaria uma relação de dependência linear, o que contraria o fato de que todas são distintas.
Passo 6
Como não existe nenhuma relação de dependência entre essas matrizes, a única maneira de a combinação linear ser igual a zero é se todos os coeficientes
forem zero. Portanto, o conjunto
é linearmente independente.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente.