(i) Se A tiver tamanho n times n e In, A, A^2, ldots, A^n^2 forem matrizes distintas, então In, A, A^2, ldots, A^n^2 é linearmente independente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre matrizes e independência linear. A gente tem uma matriz quadrada de tamanho e uma sequência de matrizes todas diferentes umas das outras. A gente precisa mostrar que esse conjunto de matrizes é linearmente independente. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é independência linear e como ela se aplica a matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Em termos simples, um conjunto de vetores (ou matrizes, nesse caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta na matriz zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se a gente tiver:
c0 In + c1 A + c2 A^2 + ldots + cn^2 A^n^2 = 0
Então, para que isso seja verdadeiro, necessariamente todos os têm que ser iguais a zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso conjunto c0 In + c1 A + c2 A^2 + ldots + cn^2 A^n^2 = 0 . Queremos mostrar que se essa combinação linear dá a matriz zero, então todos os coeficientes precisam ser zero.
Vamos supor que:
Nosso objetivo é provar que .

Passo 4

Para fazer isso, vamos usar um conceito importante chamado polinômio mínimo de uma matriz. O polinômio mínimo de é o menor polinômio não nulo tal que . Sabemos que o grau do polinômio mínimo de uma matriz é, no máximo, .
Isso significa que, qualquer combinação linear de potências de de até pode, em princípio, ser usada para expressar para .

Passo 5

No entanto, no nosso caso, as matrizes são todas distintas. Isso sugere que nenhuma combinação linear de potências menores de pode expressar uma potência maior, já que todas são únicas.
Se fosse possível expressar uma dessas matrizes como uma combinação linear das anteriores, isso implicaria uma relação de dependência linear, o que contraria o fato de que todas são distintas.

Passo 6

Como não existe nenhuma relação de dependência entre essas matrizes, a única maneira de a combinação linear ser igual a zero é se todos os coeficientes forem zero. Portanto, o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

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