Dados os pontos A(2,2,-3) e B(3,1,-3), calcule os ângulos diretores do vetor AB.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois pontos no espaço: A(2, 2, -3) e B(3, 1, -3). O exercício pede para calcular os ângulos diretores do vetor AB. Isso está relacionado à Geometria Analítica no Espaço. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar um vetor a partir de dois pontos e como calcular seus ângulos diretores usando trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor AB. Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:
AB = B - A = (3-2, 1-2, -3-(-3)) = (1, -1, 0)
Então, o vetor AB tem componentes (1,, -1,, 0).

Passo 3

Agora, precisamos calcular a magnitude (ou comprimento) do vetor AB. A fórmula para a magnitude de um vetor (a,, b,, c) é:
|AB| = raiza^2 + b^2 + c^2
Aplicando os valores:
|AB| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2

Passo 4

Os ângulos diretores são os ângulos que o vetor forma com cada um dos eixos coordenados (x, y e z). Para encontrá-los, usamos o conceito de cossenos diretores. A fórmula para cada cosseno é:
cos alpha = a|AB|
cos beta = b|AB|
cos gamma = c|AB|
Onde alpha, beta, e gamma são os ângulos com os eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 5

Vamos calcular cada cosseno diretor:
Para o eixo x:
cos alpha = 1raiz2
Então,
alpha = arccos(1raiz2) approx 45^circ
Para o eixo y:
cos beta = -1raiz2
Então,
beta = arccos(-1raiz2) approx 135^circ
Para o eixo z:
cos gamma = 0raiz2 = 0
Então,
gamma = arccos(0) = 90^circ

Resposta

Os ângulos diretores do vetor AB são aproximadamente:
alpha = 45^circ, beta = 135^circ, gamma = 90^circ

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