Ache a equação da hipérbole que tem focos nos pontos F1(4,-4) e F2(-2,2) e assíntotas perpendiculares.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole cujos focos são F1(4,-4) e F2(-2,2) e cujas assíntotas são perpendiculares. Isso caracteriza uma hipérbole retangular, em que b=a (pois a inclinação das assíntotas é pm b/a, de modo que b/a=1). Vamos:
  1. Encontrar o centro e a distância focal c.
  2. Usar b=a para determinar a via c^2=a^2+b^2=2a^2.
  3. Adotar coordenadas rotacionadas (u,v) alinhadas com o eixo transverso e seu perpendicular.
  4. Escrever a equação padrão u^2/a^2 - v^2/a^2 =1 e voltar a x,y.

Passo 2

O centro C é o ponto médio de F1F2:
Cl(xc,ycr) =l(tfrac4+(-2)2,;tfrac-4+22r) =(1,-1)
A distância focal 2c é a distância de F1 a F2; logo
c =raiz(4-1)^2+(-4+1)^2 =raiz9+9 =3raiz2

Passo 3

Como a hipérbole é retangular, temos b=a. Pela relação c^2=a^2+b^2 segue
(3raiz2)^2= a^2 + a^2 Longrightarrow 18=2a^2 Longrightarrow a^2=9 Longrightarrow a=3

Passo 4

Escolhemos o eixo u na direção do segmento focal (vetor (3,-3)) e o eixo v perpendicular a ele (vetor (3,3)). Definimos as coordenadas localmente em C:
u = 1raiz2l[(x-1)-(y+1)r], v = 1raiz2l[(x-1)+(y+1)r]
Na forma padrão da hipérbole retangular:
u^2a^2-v^2a^2=1 Longrightarrow u^2 - v^2 = a^2 = 9

Passo 5

Substituindo u e v:
u^2-v^2 =tfrac12l[(x-1)-(y+1)r]^2 -tfrac12l[(x-1)+(y+1)r]^2 =9
Calculando as diferenças de quadrados:
(x-1 - y -1)^2 - (x-1 + y +1)^2 = (x - y -2)^2 - (x + y)^2
= l[x^2 -2xy +y^2 -4x +4y +4r] - l[x^2 +2xy +y^2r] = -4xy -4x +4y +4
Como u^2-v^2=tfrac12l[(x-y-2)^2-(x+y)^2r], temos
tfrac12l(-4xy -4x +4y +4r)=9 Longrightarrow -4xy -4x +4y +4 =18 Longrightarrow 4xy +4x -4y +14=0
Dividindo por 2:
2xy +2x -2y +7=0

Resposta

A equação da hipérbole é
2xy + 2x - 2y + 7 = 0

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