Ache a equação da hipérbole que tem focos nos pontos
e
e assíntotas perpendiculares.
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma hipérbole cujos focos são
e
e cujas assíntotas são perpendiculares. Isso caracteriza uma hipérbole retangular, em que
(pois a inclinação das assíntotas é
, de modo que
). Vamos:
- Encontrar o centro e a distância focal
. - Usar
para determinar via . - Adotar coordenadas rotacionadas
alinhadas com o eixo transverso e seu perpendicular. - Escrever a equação padrão
e voltar a .
Passo 2
O centro
é o ponto médio de
:
A distância focal
é a distância de
a
; logo
Passo 3
Como a hipérbole é retangular, temos
. Pela relação
segue
Passo 4
Escolhemos o eixo
na direção do segmento focal (vetor
) e o eixo
perpendicular a ele (vetor
). Definimos as coordenadas localmente em
:
Na forma padrão da hipérbole retangular:
Passo 5
Substituindo
e
:
Calculando as diferenças de quadrados:
Como
, temos
Dividindo por
:
Resposta
A equação da hipérbole é