Ache a equação do lugar geométrico dos pontos P do plano cuja distância à reta y - 6= 0 seja igual a duas vezes a distância de P ao ponto (1,0). Identifique e esboce a curva obtida.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos P=(x,y) tais que a distância de P à reta y-6=0 é igual a duas vezes a distância de P ao ponto (1,0).
O conteúdo é geometria analítica de cônicas por razão de distâncias. Vamos usar a fórmula da distância ponto–reta e ponto–ponto, montar a equação, quadrar para eliminar raiz e valor absoluto, e então identificar a cônica resultante.

Passo 2

A distância de P=(x,y) à reta y-6=0 é
dreta = l|0cdot x +1cdot y -6r|raiz0^2+1^2 = |y-6|
A distância de P ao ponto (1,0) é
dponto = raiz(x-1)^2 + y^2
A condição é
|y-6| = 2,raiz(x-1)^2 + y^2
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar valor absoluto e raiz.

Passo 3

Ao quadrar obtemos
(y-6)^2 = 4l((x-1)^2 + y^2r)
Expandindo e agrupando todos os termos num só lado:
y^2 - 12y +36 = 4(x^2 -2x +1) +4y^2 ;;Rightarrow;; 0 = 4x^2 -8x +4 +4y^2 -y^2 +12y -36
Rightarrow; 4x^2 -8x +3y^2 +12y -32 = 0

Passo 4

Para colocar em forma canônica, completamos quadrados:
4(x^2 -2x) + 3(y^2 +4y) = 32 ;;Rightarrow;; 4l[(x-1)^2 -1r] +3l[(y+2)^2 -4r] =32
Rightarrow; 4(x-1)^2 -4 +3(y+2)^2 -12 =32 ;;Rightarrow;; 4(x-1)^2 +3(y+2)^2 =48
Dividindo por 48,
(x-1)^212 + (y+2)^216 = 1

Passo 5

Reconhecemos uma elipse de centro (1,-2). Os semi-eixos são
a = raiz12 = 2raiz3(eixo horizontal), b = raiz16 = 4(eixo vertical)
Os vértices ficam em
(1pm 2raiz3,, -2) e (1,, -2pm4).
Para esboçar, plotamos o centro em (1,-2), depois os pontos (1pm2raiz3,-2) e (1,-2pm4), desenhando a elipse que passa por eles.

Resposta

Equação do lugar geométrico:
4(x-1)^2 + 3(y+2)^2 = 48,
que em forma canônica é
(x-1)^212 + (y+2)^216 = 1
Trata-se de uma elipse de centro (1,-2), semi-eixos 2raiz3 (horizontal) e 4 (vertical).

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