Ache a equação do lugar geométrico dos pontos do plano cuja distância à reta y - 0 seja igual a duas vezes a distância de P ao ponto (1,0). Identifique e esboce a curva obtida.
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos tais que a distância de à reta é igual a duas vezes a distância de ao ponto .
O conteúdo é geometria analítica de cônicas por razão de distâncias. Vamos usar a fórmula da distância ponto–reta e ponto–ponto, montar a equação, quadrar para eliminar raiz e valor absoluto, e então identificar a cônica resultante.
Passo 2
A distância de à reta é
A distância de P ao ponto (1,0) é
dponto = raiz(x-1)^2 + y^2
A condição é
|y-6| = 2,raiz(x-1)^2 + y^2
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar valor absoluto e raiz.
Passo 3
Ao quadrar obtemos
(y-6)^2 = 4l((x-1)^2 + y^2r)
Expandindo e agrupando todos os termos num só lado:
Reconhecemos uma elipse de centro (1,-2). Os semi-eixos são
a = raiz12 = 2raiz3(eixo horizontal), b = raiz16 = 4(eixo vertical)
Os vértices ficam em (1pm 2raiz3,, -2) e (1,, -2pm4).
Para esboçar, plotamos o centro em (1,-2), depois os pontos (1pm2raiz3,-2) e (1,-2pm4), desenhando a elipse que passa por eles.
Resposta
Equação do lugar geométrico:
4(x-1)^2 + 3(y+2)^2 = 48,
que em forma canônica é
(x-1)^212 + (y+2)^216 = 1
Trata-se de uma elipse de centro (1,-2), semi-eixos 2raiz3 (horizontal) e 4 (vertical).