Escreva cada uma das equações dadas a seguir na forma canônica, identifique a curva que ela representa e esboce o seu gráfico:
Passo 1
O enunciado pede para levar a equação
à forma canônica, identificar a curva e esboçá-la. Aqui precisamos usar a rotação de eixos para eliminar o termo misto
, pois temos uma cônica geral com
e
.
Passo 2
Calculamos o ângulo de rotação
usando
logo
Definimos as novas coordenadas
por
Passo 3
Substituindo em
, obtemos
então
A equação vira
Passo 4
Reescrevendo em forma canônica, dividimos por
:
Ou equivalentemente
Passo 5
Como
não admite solução real (soma de quadrados negativa), a curva é uma elipse imaginária (conjunto vazio). O esboço em
é simplesmente o plano sem pontos da cônica.
Resposta
Forma canônica:
Curva: elipse imaginária (sem pontos reais).
Esboço: plano de sem nenhum ponto da elipse.
Esboço: plano de