Escreva cada uma das equações dadas a seguir na forma canônica, identifique a curva que ela representa e esboce o seu gráfico:
5 x^2-6 x y+5 y^2+8=0

Passo 1

O enunciado pede para levar a equação
5x^2-6xy+5y^2+8=0
à forma canônica, identificar a curva e esboçá-la. Aqui precisamos usar a rotação de eixos para eliminar o termo misto xy, pois temos uma cônica geral com A=C=5 e B=-6.

Passo 2

Calculamos o ângulo de rotação theta usando
tan(2theta)=BA-C=-65-5=infinito,
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2theta=pi2Rightarrow theta=pi4
Definimos as novas coordenadas (u,v) por
x = u - vraiz2, y = u + vraiz2

Passo 3

Substituindo em 5x^2-6xy+5y^2, obtemos
x^2=u^2-2uv+v^22, xy=u^2-v^22, y^2=u^2+2uv+v^22,
então
5x^2-6xy+5y^2 =5(u^2-2uv+v^2)-6(u^2-v^2)+5(u^2+2uv+v^2)2 =2u^2+8v^2
A equação vira
2u^2+8v^2+8=0

Passo 4

Reescrevendo em forma canônica, dividimos por 8:
2u^28+8v^28+88=0 Longrightarrow u^24+v^2=-1
Ou equivalentemente
-l(u^24+v^2r)=1

Passo 5

Como u^24+v^2=-1 não admite solução real (soma de quadrados negativa), a curva é uma elipse imaginária (conjunto vazio). O esboço em (u,v) é simplesmente o plano sem pontos da cônica.

Resposta

Forma canônica:
u^24+v^2=-1
Curva: elipse imaginária (sem pontos reais).
Esboço: plano de (u,v) sem nenhum ponto da elipse.

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