Os focos de uma hipérbole coincidem com os da elipse (x-2)^225+(y+1)^29=1. Construir a equação da hipérbole considerando sua excentricidade igual a 2.

Passo 1

O enunciado dá a elipse
(x-2)^225+(y+1)^29=1
e pede a hipérbole que tenha os mesmos focos e excentricidade e=2.
Conteúdo necessário: para a elipse c^2=a^2-b^2 e para a hipérbole e=c/a e c^2=a^2+b^2.

Passo 2

Da elipse identificamos o centro (2,-1), a^2=25 e b^2=9, logo a=5, b=3.
O semi-distanciamento dos focos é
c=raiza^2-b^2=raiz25-9=4,
de modo que os focos estão em (2pm4,-1).

Passo 3

Para a hipérbole, como os focos coincidem, temos c=4 e e=2.
Da definição de excentricidade:
e=caRightarrow 2=4aRightarrow a=2,
e depois
b^2=c^2-a^2=16-4=12

Passo 4

Como os focos estão alinhados horizontalmente, a hipérbole centrada em (2,-1) com eixo transverso horizontal é
(x-2)^24-(y+1)^212=1

Resposta

(x-2)^24-(y+1)^212=1

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