Ache a equação da parábola em cada um dos casos abaixo:
O vértice da parábola é V(-2,-1) e a diretriz x+2 y-1=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola cujo vértice é V(-2,-1) e cuja diretriz é a reta
x + 2y - 1 = 0
Vamos usar a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz. Para isso, precisamos primeiro determinar as coordenadas do foco.

Passo 2

Seja a reta da diretriz dada por
L:;Ax+By+C=0com A=1,;B=2,;C=-1
O vértice V(x0,y0)=(-2,-1) tem distância à diretriz
d = l|A x0 + B y0 + Cr|raizA^2+B^2 = l|1cdot(-2)+2cdot(-1)-1r|raiz1^2+2^2 = |-5|raiz5 = raiz5
O foco fica sobre a normal à reta L passando por V, a uma distância d de V no lado oposto ao de V em relação à diretriz. O vetor normal unitário é
n = (A,B)raizA^2+B^2 = (1,2)raiz5
Como V está do lado em que Ax+By+C<0, o foco fica em
F = V - d,n = (-2,-1) ;-;raiz5cdot(1,2)raiz5 = (-2,-1) - (1,2) = (-3,-3)

Passo 3

Pela definição, um ponto (x,y) da parábola satisfaz
distl((x,y),Fr) ;=; distl((x,y),Lr)
Escrevendo as distâncias, temos
raiz(x+3)^2+(y+3)^2 ;=; l|,x+2y-1,r|raiz5
Elevando ao quadrado e multiplicando ambos os lados por 5,
5l[(x+3)^2+(y+3)^2r] = l(x+2y-1r)^2

Passo 4

Agora expandimos e simplificamos:
5(x^2+6x+9) + 5(y^2+6y+9) = (x+2y-1)^2
5x^2+30x+45 + 5y^2+30y+45 = x^2 +4xy+4y^2 -2x -4y +1
5x^2+5y^2+30x+30y+90 - l(x^2+4xy+4y^2 -2x -4y +1r)=0
4x^2 -4xy + y^2 +32x +34y +89 = 0

Resposta

A equação da parábola é
4x^2 ;-;4xy;+;y^2;+;32x;+;34y;+;89 ;=;0

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