Nos itens abaixo, calcule a derivada da função dada e determine a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto dado.
f(x)=x^2 raiz2 x+3 ; para x0=-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x^2raiz2x+3 e a inclinação da reta tangente no ponto x0=-1. Vamos usar as regras de derivação de produto e cadeia.

Passo 2

Reescrevemos f(x) em forma de potências:
f(x)=x^2, (2x+3)^1/2

Passo 3

Aplicamos inicialmente a regra do produto. Sejam u(x)=x^2 e v(x)=(2x+3)^1/2. Então
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 4

Calculamos u'(x) e v'(x). Já sabemos que
u'(x)=2x
Para v(x)=(2x+3)^1/2, usamos regra da cadeia:
v'(x)=tfrac12(2x+3)^-1/2cdot2=(2x+3)^-1/2

Passo 5

Substituindo em f'(x):
f'(x)=2x,(2x+3)^1/2+x^2,(2x+3)^-1/2

Passo 6

Para simplificar, fatoramos (2x+3)^-1/2: note que (2x+3)^1/2=(2x+3)(2x+3)^-1/2. Assim
f'(x)=2x(2x+3)+x^2raiz2x+3=5x^2+6xraiz2x+3

Passo 7

Para encontrar a inclinação em x0=-1, avaliamos:
f'(-1)=5(-1)^2+6(-1)raiz2(-1)+3=5-6raiz1=-1

Resposta

A derivada é f'(x)=5x^2+6xraiz2x+3 e a inclinação da reta tangente em x0=-1 é -1.

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