Escreva cada uma das equações dadas a seguir na forma canônica, identifique a curva que ela representa e esboce o seu gráfico:
x^2+2 x y+y^2+3 x+3 y-10=0

Passo 1

O enunciado pede para escrever na forma canônica, identificar a curva e esboçar o gráfico da equação
x^2+2xy+y^2+3x+3y-10=0
Isso trata de uma cônica com termo misto xy. Vamos usar técnicas de fatoração para reduzi-la a algo mais simples.

Passo 2

Observamos que
x^2+2xy+y^2=(x+y)^2
Para aproveitar isso, definimos a nova variável
u = x+y

Passo 3

Substituindo u na equação original, os termos quadrático e lineares em x,y ficam
(x+y)^2+3(x+y)-10 = 0 Longrightarrow u^2+3u-10 = 0

Passo 4

Fatoramos o trinômio em u:
u^2+3u-10 = (u-2)(u+5)=0

Passo 5

Voltando para x,y, como u=x+y temos as duas equações
x+y-2=0 e x+y+5=0

Passo 6

Portanto a cônica é, na verdade, o par de retas paralelas
y = -x+2 e y = -x-5,
com declive -1 e interceptos 2 e -5 no eixo y.

Resposta

Forma canônica (em u=x+y):
(u-2)(u+5)=0
A curva é um par de retas paralelas:
x+y=2 e x+y=-5
Esboço do gráfico: duas linhas paralelas de inclinação -1, passando pelos pontos (0,2) e (0,-5), respectivamente.

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