Ache a equação do lugar geométrico dos pontos do espaço tais que o quadrado da distância desses pontos à reta r:lx=2 y=3 seja igual ao dobro da distância desses pontos ao plano Pi: 2 z+4=0.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos
seja igual ao dobro da distância de (P] ao plano

Isso envolve usar fórmulas de distância ponto–reta e ponto–plano em geometria analítica no espaço.

Passo 2

Para a reta r temos um vetor diretor (0,0,1) e um ponto qualquer (2,3,0). A distância de P=(x,y,z) a r é a distância no plano xy até (2,3), ou seja
d(P,r)=raiz(x-2)^2+(y-3)^2

Passo 3

O quadrado dessa distância é
d(P,r)^2=(x-2)^2+(y-3)^2

Passo 4

A distância de P=(x,y,z) ao plano Pi:2z+4=0 vem de
d(P,Pi)=lvert 2z+4rvertraiz2^2=lvert z+2rvert

Passo 5

Impondo a condição
d(P,r)^2 = 2,d(P,Pi)
obtemos
(x-2)^2+(y-3)^2 = 2,lvert z+2rvert

Resposta

(x-2)^2+(y-3)^2 = 2,lvert z+2rvert

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