Considere a equação 4 x^2-y^2+z^2=-16.
Ache e identifique:
A equação da curva interseção desta superfície com o plano y = 8;

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quádrupla
4x^2-y^2+z^2=-16
e pede a curva de interseção com o plano y=8. O conteúdo aqui é a interseção de uma superfície de segundo grau com um plano, que gera uma cônica. Vamos substituir y=8 na equação e depois identificar o tipo de cônica.

Passo 2

Substituindo y=8 em
4x^2-y^2+z^2=-16
temos
4x^2-(8)^2+z^2=-16
ou seja
4x^2-64+z^2=-16
Reorganizando,
4x^2+z^2=48

Passo 3

Para ver claramente o tipo de cônica, dividimos ambos os lados por 48:
4x^248+z^248=1
ou seja
x^212+z^248=1
Isso mostra que a interseção é uma elipse no plano y=8, com semi-eixo em x de comprimento raiz12=2raiz3 e semi-eixo em z de comprimento raiz48=4raiz3.

Resposta

A curva de interseção é a elipse dada por
4x^2+z^2=48(no plano y=8),
ou em forma canônica
x^212+z^248=1,
com semi-eixos a=2raiz3 (direção x) e b=4raiz3 (direção z).

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