Ache a equação do lugar geométrico dos pontos
tais que a distância ao eixo OZ é a metade de sua distância à origem das coordenadas. Identifique e esboce seu gráfico.
Passo 1
O enunciado pede o conjunto de pontos
em
tais que a distância desse ponto ao eixo
seja a metade da sua distância à origem
. O conteúdo envolve fórmulas de distância em espaço tridimensional: a) distância de um ponto ao eixo
e b) distância de um ponto à origem.
Passo 2
A distância do ponto
ao eixo
é
enquanto a distância de
à origem
é
A condição do problema é
Passo 3
Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
Multiplicando por 4 e reorganizando, dá
Passo 4
A equação
define uma superfície quádrupla, que é um cone circular reto de vértice na origem e eixo coincidente com
. O ângulo entre a geratriz e o eixo
satisfaz
Como
aparece ao quadrado, temos duas nappes simétricas (para
e
).
Passo 5
Para esboçar, note que na seção
o cone reduz-se às retas
Rotacionando ao redor do eixo
, essas linhas geram o cone de abertura total de
. Assim, o gráfico é um par de cones circulares retos, juntando-se pelo vértice na origem e estendendo-se para cima e para baixo.
Resposta
A equação do lugar geométrico é
que corresponde a um cone circular reto duplo de vértice na origem, eixo
e semiângulo de abertura de
.