Ache a equação do lugar geométrico dos pontos P(x, y, z) tais que a distância ao eixo OZ é a metade de sua distância à origem das coordenadas. Identifique e esboce seu gráfico.

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de pontos P(x,y,z) em R^3 tais que a distância desse ponto ao eixo OZ seja a metade da sua distância à origem O. O conteúdo envolve fórmulas de distância em espaço tridimensional: a) distância de um ponto ao eixo OZ e b) distância de um ponto à origem.

Passo 2

A distância do ponto P(x,y,z) ao eixo OZ é
dOZ = raizx^2 + y^2,
enquanto a distância de P à origem O é
dO = raizx^2 + y^2 + z^2
A condição do problema é
raizx^2 + y^2 = tfrac12 ,raizx^2 + y^2 + z^2

Passo 3

Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
x^2 + y^2 = tfrac14l(x^2 + y^2 + z^2r)
Multiplicando por 4 e reorganizando, dá
4(x^2 + y^2) = x^2 + y^2 + z^2 Longrightarrow 3(x^2 + y^2) = z^2

Passo 4

A equação
z^2 = 3l(x^2 + y^2r)
define uma superfície quádrupla, que é um cone circular reto de vértice na origem e eixo coincidente com OZ. O ângulo entre a geratriz e o eixo OZ satisfaz
tan(alpha) =raizx^2+y^2|z| =1raiz3 Longrightarrow alpha = 30^circ
Como z aparece ao quadrado, temos duas nappes simétricas (para z>=0 e z<=0).

Passo 5

Para esboçar, note que na seção y=0 o cone reduz-se às retas
z = pmraiz3,x
Rotacionando ao redor do eixo OZ, essas linhas geram o cone de abertura total de 60^circ. Assim, o gráfico é um par de cones circulares retos, juntando-se pelo vértice na origem e estendendo-se para cima e para baixo.

Resposta

A equação do lugar geométrico é
z^2 = 3l(x^2 + y^2r),
que corresponde a um cone circular reto duplo de vértice na origem, eixo OZ e semiângulo de abertura de 30^circ.

Exercícios relacionados