Escreva cada uma das equações dadas a seguir na forma canônica, identifique a curva que ela representa e esboce o seu gráfico:
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica
e pede para escrevê-la na forma canônica, identificar a curva e esboçar o gráfico. Como há termo misto
, vamos precisar rotacionar os eixos para eliminar esse termo.
Passo 2
Identificamos os coeficientes da forma geral
Para eliminar o termo
fazemos uma rotação de eixos de ângulo
tal que
Passo 3
Escolhemos
e usamos a mudança de variáveis
Substituindo na equação e simplificando obtém-se
Passo 4
Colocando em forma canônica basta dividir por
:
Passo 5
Essa é a equação de uma elipse centrada em
no sistema
, com semieixo maior
ao longo do eixo
e semieixo menor
ao longo do eixo
.
Passo 6
Voltando ao sistema original
, o eixo
está alinhado com a reta
e o eixo
com a reta
. Os vértices da elipse no plano
são:
- ao longo do eixo maior (
, ):
- ao longo do eixo menor (
, ):
Passo 7
Esboço: uma elipse centrada na origem, girada de
, com eixo maior ao longo da reta
estendendo-se de
a
e eixo menor ao longo de
de
a
.
Resposta
Forma canônica:
Curva: elipse de semieixos
,
, rotacionada de
(eixos principais nas retas
e
).