Escreva cada uma das equações dadas a seguir na forma canônica, identifique a curva que ela representa e esboce o seu gráfico:
5 x^2-6 x y+5 y^2-32=0

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
5x^2-6xy+5y^2-32=0
e pede para escrevê-la na forma canônica, identificar a curva e esboçar o gráfico. Como há termo misto xy, vamos precisar rotacionar os eixos para eliminar esse termo.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma geral
Ax^2+Bxy+Cy^2+F=0: A=5,;B=-6,;C=5,;F=-32
Para eliminar o termo xy fazemos uma rotação de eixos de ângulo theta tal que
tan(2theta)=BA-C=-65-5=mpinfty;Longrightarrow;2theta=-pi2;Longrightarrow;theta=-pi4 (ou ,theta=tfrac3pi4)

Passo 3

Escolhemos theta=pi/4 e usamos a mudança de variáveis
x = X - Yraiz2, y = X + Yraiz2
Substituindo na equação e simplificando obtém-se
2X^2+8Y^2-32=0

Passo 4

Colocando em forma canônica basta dividir por 32:
2X^232+8Y^232=1 Longrightarrow X^216+Y^24=1

Passo 5

Essa é a equação de uma elipse centrada em (0,0) no sistema XY, com semieixo maior a=4 ao longo do eixo X e semieixo menor b=2 ao longo do eixo Y.

Passo 6

Voltando ao sistema original (x,y), o eixo X está alinhado com a reta y=x e o eixo Y com a reta y=-x. Os vértices da elipse no plano xy são:
  • ao longo do eixo maior ( Y=0, X=pm4):
(x,y)=l(tfrac4raiz2,tfrac4raiz2r)=(2raiz2,2raiz2), ; (-2raiz2,-2raiz2)
  • ao longo do eixo menor ( X=0, Y=pm2):
(x,y)=l(-tfrac2raiz2,tfrac2raiz2r)=(-raiz2,raiz2), ; (raiz2,-raiz2)

Passo 7

Esboço: uma elipse centrada na origem, girada de 45^circ, com eixo maior ao longo da reta y=x estendendo-se de (-2raiz2,-2raiz2) a (2raiz2,2raiz2) e eixo menor ao longo de y=-x de (-raiz2,raiz2) a (raiz2,-raiz2).

Resposta

Forma canônica:
X^216+Y^24=1
Curva: elipse de semieixos a=4, b=2, rotacionada de 45^circ (eixos principais nas retas y=x e y=-x).

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