Ache a equação da parábola abaixo que verifica as condições dadas:
foco F(0,-4) e diretriz y=4;

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a equação da parábola cujo foco é F(0,-4) e cuja diretriz é a reta y=4. O conteúdo principal é a definição geométrica de parábola: o lugar dos pontos equidistantes do foco e da diretriz.

Passo 2

Seja (x,y) um ponto genérico da parábola. A distância de (x,y) ao foco F(0,-4) é
raiz(x-0)^2 + (y+4)^2,
e a distância de (x,y) à diretriz y=4 é
lvert y - 4rvert
Pela definição de parábola, igualamos essas duas distâncias:
raiz(x-0)^2 + (y+4)^2 = lvert y - 4rvert

Passo 3

Para eliminar a raiz e o valor absoluto, elevamos ambos os lados ao quadrado:
(x-0)^2 + (y+4)^2 = (y-4)^2
Isto é,
x^2 + (y+4)^2 = (y-4)^2

Passo 4

Expandindo os quadrados,
x^2 + l(y^2 + 8y + 16r) = y^2 - 8y + 16
Cancelamos y^2 e 16 em ambos os lados, obtendo
x^2 + 8y = -8y Longrightarrow x^2 = -16y

Passo 5

Reescrevendo em forma explícita de y, temos
y = -tfrac116x^2

Resposta

A equação da parábola é
x^2 + 16y = 0,
ou, equivalentemente,
y = -tfrac116x^2

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