Decida se o operador T: R^n longrightarrow R^n, dado por sua matriz [T]B é diagonalizável. Em caso positivo, calcule uma base de autovetores e sua forma diagonal.
n=2.
[T]B=[cc -4 & -1 4 & 0 ]

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o operador linear TcolonR^2toR^2 com matriz na base B dada por
[T]B = -4 & -1 4 & 0
é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma base de autovetores e a forma diagonal.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A=[T]B. Temos
det(A-lambda I) =det-4-lambda & -14 & -lambda =(-4-lambda)(-lambda)-(-1)cdot4 =lambda^2+4lambda+4

Passo 3

Resolvendo lambda^2+4lambda+4=0 obtemos
lambda^2+4lambda+4=(lambda+2)^2=0 Longrightarrow lambda=-2
com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Para achar a dimensão do espaço próprio em , resolvemos
A primeira equação dá , ou seja . Logo o espaço próprio é , de dimensão .

Passo 5

Como o autovalor lambda=-2 tem multiplicidade algébrica 2 e o espaço próprio associado tem dimensão 1, não há autovetores suficientes para formar uma base de R^2. Portanto, T não é diagonalizável.

Resposta

O operador T não é diagonalizável.

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