Ache a equação da parábola em cada um dos casos abaixo:
O foco da parábola é F(2,-1) e a diretriz x-y-1=0;

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola cujo foco é F(2,-1) e cuja diretriz é a reta
x - y - 1 = 0
O que vamos usar é a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos P(x,y) que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Para isso precisamos da fórmula da distância de um ponto a uma reta e da distância entre dois pontos.

Passo 2

Seja P(x,y) um ponto genérico da parábola. A distância de P ao foco F(2,-1) é
d(P,F)=raiz(x-2)^2+(y+1)^2
A distância de P à diretriz x-y-1=0 (que tem os coeficientes A=1, B=-1, C=-1) é
dl(P,diretrizr) =l|x-y-1r|raiz1^2+(-1)^2 =l|x-y-1r|raiz2
Pela definição de parábola, essas duas distâncias são iguais.

Passo 3

Igualando as distâncias e elevando ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto, temos
(x-2)^2+(y+1)^2 =l(x-y-1raiz2r)^2

Passo 4

Explicando cada lado:
  • Lado esquerdo:
(x-2)^2+(y+1)^2 =x^2-4x+4+y^2+2y+1 =x^2+y^2-4x+2y+5
  • Lado direito:
l(x-y-1raiz2r)^2 =(x-y-1)^22 =x^2+y^2-2xy-2x+2y+12
Multiplicamos toda a equação por 2:
2l(x^2+y^2-4x+2y+5r) =x^2+y^2-2xy-2x+2y+1

Passo 5

Agora trazemos tudo para um lado e simplificamos termo a termo:
2x^2+2y^2-8x+4y+10 -l(x^2+y^2-2xy-2x+2y+1r) =0
Isso dá
x^2+y^2+2xy-6x+2y+9=0

Resposta

A equação da parábola é
x^2+2xy+y^2-6x+2y+9=0

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