Sejam as retas y=2 x e y=-2 x
Ache a equação dolugar geométrico dos pontos P(x, y) do plano tais que o produto das distâncias destes pontos às retas dadas seja sempre constante e igual a 5;

Passo 1

O enunciado dá as retas y=2x e y=-2x e pede o lugar geométrico dos pontos P(x,y) tais que o produto das distâncias de P a essas retas seja sempre igual a 5. Para resolver, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta e impor que o produto dessas distâncias seja 5.

Passo 2

Escrevemos cada reta na forma Ax+By+C=0:
reta 1: y=2x;Longrightarrow;2x-y=0, reta 2: y=-2x;Longrightarrow;2x+y=0
Pela fórmula da distância de (x,y) à reta Ax+By+C=0,
d=lvert Ax+By+CrvertraizA^2+B^2
Logo a distância a cada reta é
d1=lvert 2x-yrvertraiz2^2+(-1)^2 =lvert 2x-yrvertraiz5, d2=lvert 2x+yrvertraiz5

Passo 3

O enunciado exige
d1cdot d2=5,
isto é,
lvert 2x-yrvertraiz5;cdot;lvert 2x+yrvertraiz5 =5
Multiplicando ambos os lados por 5 obtemos
lvert (2x-y)(2x+y)rvert =25,
isto é,
lvert 4x^2 - y^2rvert =25

Passo 4

Elevar ao quadrado para eliminar o valor absoluto dá a equação do lugar geométrico:
(4x^2 - y^2)^2 = 25^2 =625

Resposta

(4x^2 - y^2)^2 = 625

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