Ache a equação do plano que contém as retas r: x-23=y+12=z-3-2 e s: x-13=y-22=z+3-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que contém duas retas específicas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica como vetores diretores e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar pontos que estão em cada reta. Para a reta , se colocarmos o parâmetro igual a zero, encontramos o ponto . Já para a reta , o ponto correspondente é .

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor diretor de cada reta. Observando as equações das retas, vemos que ambas têm o vetor diretor . Isso significa que as retas são paralelas.

Passo 4

Como as retas são paralelas, para definir um plano, precisamos de mais uma direção. Vamos encontrar o vetor que liga os pontos PQ = Q - P = (1 - 2, 2 - (-1), -3 - 3) = (-1, 3, -6) e . Esse vetor é:

Passo 5

Para encontrar o vetor normal ao plano, vamos calcular o produto vetorial entre o vetor diretor n = v times PQ = i & j & k 3 & 2 & -2 -1 & 3 & -6 e o vetor n = i(2 cdot (-6) - (-2) cdot 3) - j(3 cdot (-6) - (-2) cdot (-1)) + k(3 cdot 3 - 2 cdot (-1)) :
n = i(-12 + 6) - j(-18 - 2) + k(9 + 2)
Calculando o determinante:
n = i(-6) - j(-20) + k(11)
n = (-6, 20, 11)

Passo 6

Com o vetor normal n cdot (r - P) = 0 e o ponto -6(x - 2) + 20(y + 1) + 11(z - 3) = 0 que está no plano, podemos escrever a equação do plano usando a fórmula:
-6x + 12 + 20y + 20 + 11z - 33 = 0
Isso resulta em:
-6x + 20y + 11z - 1 = 0
Simplificando:

Resposta

A equação do plano desejado é:
-6x + 20y + 11z - 1 = 0

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