Discutir o seguinte sistema linear , nas variáveis e , em função de , sempre justificando suas conclusões. Inicie determinando um sistema escalonado equivalente à .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . Esse sistema depende de um parâmetro real . O que a gente precisa fazer é discutir esse sistema para diferentes valores de e começar transformando ele em uma forma mais simples, chamada sistema escalonado. Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, como operações com matrizes e sistemas de equações. Vamos resolver passo a passo para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos independentes das equações. Nosso sistema é:
S: x + y - a z = 0 a x + y - z = 2 - a x + a y - z = -a
Então, a matriz aumentada fica assim:
1 & 1 & -a & | & 0 a & 1 & -1 & | & 2 - a 1 & a & -1 & | & -a
Passo 3
Agora, vamos transformar essa matriz em um sistema escalonado usando operações elementares de linha. As operações que podemos fazer são:
Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
Trocar duas linhas entre si.
Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.
Nosso objetivo é ter zeros abaixo dos elementos da diagonal principal (os números que estão de cima para baixo na diagonal da esquerda para a direita).
Passo 4
Vamos começar eliminando o coeficiente a x + y - z & = 2 - a - [a(1 x + 1 y - a z)] & = -a x - a y + a^2 z hline 0 x + (1 - a) y + ( -1 + a^2 ) z & = 2 - a que está na posição (2,1). Para isso, subtraímos 0 (1 - a) (-1 + a^2) | 2 - a vezes a primeira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - * Linha 1
Calculando:
Então, a segunda linha fica:
Passo 5
Agora, vamos eliminar o coeficiente x + a y - z & = -a - (x + y - a z) & = -x - y + a z hline 0 x + (a - 1) y + ( -1 + a ) z & = -a na posição (3,1). Para isso, subtraímos a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1
Calculando:
0 (a - 1) (-1 + a) | -a
Então, a terceira linha fica:
Passo 6
Agora nossa matriz está assim:
1 & 1 & -a & | & 0 0 & 1 - a & a^2 - 1 & | & 2 - a 0 & a - 1 & a - 1 & | & -a
Observamos que as linhas 2 e 3 têm coeficientes semelhantes para 0 (1 - a) (1 - a) | a . Vamos simplificar a terceira linha para facilitar:
Linha 3 = Linha 3 * (-1)
Isso resulta em:
Passo 7
Agora, vamos comparar a segunda e a terceira linha:
Linha 2: 0 (1 - a) (a - 1)(a + 1) | 2 - a
Linha 3: 2 - a1 - a = -(a - 2)-(a - 1) = a - 2a - 1
Podemos notar que 0 1 -(a + 1) | a - 2a - 1 . Portanto, a segunda linha pode ser escrita como:
Agora, vamos dividir a segunda linha por (assumindo que ):