Ache as equaçòes da reta que passa pelo ponto M(1,-2,3) e é simultaneamenteortogonal à reta r:cy=2 x+1 z=3 x e ao eixo O Y.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria analítica no espaço. Precisamos encontrar as equações da reta que passa pelo ponto y = 2x + 1 z = 3x e que é ortogonal à reta definida por:
Além disso, essa reta também deve ser ortogonal ao eixo . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como vetores diretores, ortogonalidade entre vetores e equações paramétricas de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta x = x y = 2x + 1 z = 3x . As equações paramétricas de r = (x, 2x + 1, 3x) = (0, 1, 0) + x(1, 2, 3) podem ser escritas em termos de um parâmetro :
Podemos reescrever isso como:
Daqui, o vetor diretor de é .

Passo 3

Agora, queremos que a reta que estamos procurando seja ortogonal à reta e ao eixo . Isso significa que o vetor diretor dessa nova reta deve ser perpendicular tanto a quanto ao vetor diretor do eixo , que é .

Passo 4

Para que dois vetores sejam ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser zero. Vamos chamar o vetor diretor da reta que buscamos de v cdot vr = a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot 3 = 0 v cdot vOY = a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 0 = b = 0 . Então, temos:
Portanto, .

Passo 5

Substituindo a + 0 cdot 2 + c cdot 3 = 0 a + 3c = 0 a = -3c na primeira equação:
Podemos escolher para simplificar, então .

Passo 6

Assim, o vetor diretor da reta que estamos procurando é .

Passo 7

Agora, usando o ponto x = 1 - 3t y = -2 + 0t = -2 z = 3 + t e o vetor diretor , podemos escrever as equações paramétricas da reta:
Onde é o parâmetro.

Resposta

As equações da reta são:
x = 1 - 3t y = -2 z = 3 + t
Onde é um número real.

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