Calcule os valores de m e n para que as retas abaixo sejam coplnares e perpendiculares.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo! Temos duas retas, e , e precisamos encontrar os valores de e para que essas retas sejam coplanares e perpendiculares. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica que envolvem vetores diretores e condições de perpendicularidade e coplanaridade entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações das retas de uma forma mais clara. A reta r: x = 2 - 3t y = 1 + n t z = 4 está dada por:
s: x - 2m = y + 31 = z - 132
Aqui, x = 2 + m k y = -3 + 1 cdot k z = 1 + 32 k é o parâmetro da reta , e podemos identificar que o vetor diretor de é .
Já a reta está dada por:
Podemos reescrever essa equação parametricamente. Seja o parâmetro da reta , então:
O vetor diretor de é .
Passo 3
Para as retas serem perpendiculares, o produto escalar dos vetores diretores deve ser zero:
dr cdot ds = 0
Vamos calcular esse produto:
(-3) cdot m + n cdot 1 + 0 cdot 32 = 0
Simplificando:
-3m + n = 0 Rightarrow n = 3m
Então, já temos uma relação entre e : .
Passo 4
Agora, para as retas serem coplanares, elas devem satisfazer a seguinte condição: o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta, junto com os vetores diretores das duas retas, devem ser coplanares. Isso significa que o determinante formado por esses três vetores deve ser zero.
Vamos escolher os pontos:
Ponto PQ = Q - P = (2 - 2, -3 - 1, 1 - 4) = (0, -4, -3) na reta PQ = (0, -4, -3), dr = (-3, n, 0), ds = (m, 1, 32) : 0 & -4 & -3 -3 & n & 0 m & 1 & 32 = 0 (quando )