Calcule os valores de m e n para que as retas abaixo sejam coplnares e perpendiculares.
r:lx=2-3 y=1+n t z=4 s: x-2m=y+31=z-13 / 2

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo! Temos duas retas, e , e precisamos encontrar os valores de e para que essas retas sejam coplanares e perpendiculares. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica que envolvem vetores diretores e condições de perpendicularidade e coplanaridade entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das retas de uma forma mais clara. A reta r: x = 2 - 3t y = 1 + n t z = 4 está dada por:
s: x - 2m = y + 31 = z - 132
Aqui, x = 2 + m k y = -3 + 1 cdot k z = 1 + 32 k é o parâmetro da reta , e podemos identificar que o vetor diretor de é .
Já a reta está dada por:
Podemos reescrever essa equação parametricamente. Seja o parâmetro da reta , então:
O vetor diretor de é .

Passo 3

Para as retas serem perpendiculares, o produto escalar dos vetores diretores deve ser zero:
dr cdot ds = 0
Vamos calcular esse produto:
(-3) cdot m + n cdot 1 + 0 cdot 32 = 0
Simplificando:
-3m + n = 0 Rightarrow n = 3m
Então, já temos uma relação entre e : .

Passo 4

Agora, para as retas serem coplanares, elas devem satisfazer a seguinte condição: o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta, junto com os vetores diretores das duas retas, devem ser coplanares. Isso significa que o determinante formado por esses três vetores deve ser zero.
Vamos escolher os pontos:
  • Ponto PQ = Q - P = (2 - 2, -3 - 1, 1 - 4) = (0, -4, -3) na reta PQ = (0, -4, -3), dr = (-3, n, 0), ds = (m, 1, 32) : 0 & -4 & -3 -3 & n & 0 m & 1 & 32 = 0 (quando )
  • Ponto na reta : (quando )
O vetor que liga a é:
Agora, temos os vetores:
A condição de coplanaridade é:

Passo 5

Vamos calcular esse determinante:
0 cdot (n cdot 32 - 0 cdot 1) - (-4) cdot (-3 cdot 32 - 0 cdot m) + (-3) cdot (-3 cdot 1 - n cdot m) = 0
Simplificando:
0 - (-4) cdot (-92) + (-3) cdot (-3 - m n) = 0
0 - (4 cdot 92) + 3 (3 + m n) = 0
0 - 18 + 9 + 3 m n = 0
-9 + 3 m n = 0 Rightarrow 3 m n = 9 Rightarrow m n = 3
Sabemos que m (3m) = 3 Rightarrow 3m^2 = 3 Rightarrow m^2 = 1 Rightarrow m = pm 1 (do passo 3), então:

Passo 6

Agora que temos n = 3 cdot 1 = 3 ou n = 3 cdot (-1) = -3 , podemos encontrar usando :
  • Se :
  • Se :

Resposta

Os valores de (m, n) = (1, 3) ou (m, n) = (-1, -3) e que tornam as retas coplanares e perpendiculares são:

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