Ache a equação do plano perpendicular ao plano , que contém o ponto e que faz um ângulo de .
Passo 1
O enunciado pede a equação de um plano que (i) é perpendicular ao plano (isto é, ao plano ), (ii) passa pelo ponto e (iii) faz ângulo com o plano dado por
Para resolver vamos usar:
Dois planos são perpendiculares se seus vetores normais são ortogonais.
A condição de passar por um ponto impõe que a equação do plano satisfaz esse ponto.
O cosseno do ângulo entre dois planos é dado por
Passo 2
Seja n=(a,b,c) o vetor normal do plano procurado. Como o plano deve ser perpendicular ao plano y=0, cujo normal é (0,1,0), temos
ncdot(0,1,0)=b=0
Logo n=(a,0,c) e a equação geral do plano fica
a,x + c,z + d = 0
Como o plano passa por (1,2,3), substituímos para achar d:
acdot1 + ccdot3 + d = 0 Longrightarrow d = -l(a + 3cr)
Passo 3
Agora impomos que o ângulo entre o nosso plano e o plano 3x+2y+z=1 seja pi/4. O vetor normal deste último é n1=(3,2,1). Temos