Ache a equação do plano perpendicular ao plano O x z, que contém o ponto (1,2,3) e que faz um ângulo de pi4 com 3 x+2 y+z=1.

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano que (i) é perpendicular ao plano O xz (isto é, ao plano y=0), (ii) passa pelo ponto (1,2,3) e (iii) faz ângulo pi/4 com o plano dado por
3x + 2y + z = 1
Para resolver vamos usar:
  • Dois planos são perpendiculares se seus vetores normais são ortogonais.
  • A condição de passar por um ponto impõe que a equação do plano satisfaz esse ponto.
  • O cosseno do ângulo theta entre dois planos é dado por
costheta = l|n1!cdot!n2r||n1|;|n2|

Passo 2

Seja n=(a,b,c) o vetor normal do plano procurado. Como o plano deve ser perpendicular ao plano y=0, cujo normal é (0,1,0), temos
ncdot(0,1,0)=b=0
Logo n=(a,0,c) e a equação geral do plano fica
a,x + c,z + d = 0
Como o plano passa por (1,2,3), substituímos para achar d:
acdot1 + ccdot3 + d = 0 Longrightarrow d = -l(a + 3cr)

Passo 3

Agora impomos que o ângulo entre o nosso plano e o plano 3x+2y+z=1 seja pi/4. O vetor normal deste último é n1=(3,2,1). Temos
cos!l(tfracpi4r) = l|n!cdot!n1r||n|;|n1| = l|3a + 0cdot2 + 1cdot cr|raiza^2 + c^2,raiz3^2+2^2+1^2 = l|3a + cr|raiza^2 + c^2,raiz14
Como cos(pi/4)=tfracraiz22, igualamos:
|3a + c|raiza^2 + c^2,raiz14 = raiz22 Longrightarrow (3a + c)^2 = 7,(a^2 + c^2)

Passo 4

Desenvolvendo (3a + c)^2 = 7(a^2 + c^2):
9a^2 + 6ac + c^2 = 7a^2 +7c^2 Longrightarrow 2a^2 +6ac -6c^2 = 0 Longrightarrow a^2 +3ac -3c^2 = 0
Isto é uma equação quadrática em a. As raízes são
a = -3c pm raiz9c^2 +12c^22 = -3c pm raiz21,c2 = c,-3 pm raiz212

Passo 5

Escolhendo c=2 para simplificar, obtemos duas direções para n:
  1. a = -3 + raiz21, c=2. Então d = -l(a+3cr) = -l((-3+raiz21) + 6r) = -(3+raiz21) A equação do plano é (-3+raiz21),x ;+; 2,z ;-;(3+raiz21)=0
  2. a = -3 - raiz21, c=2. Então d = -l((-3-raiz21) + 6r) = -l(3-raiz21r) = -3+raiz21, e a equação fica (-3-raiz21),x ;+; 2,z ;-;3+raiz21=0

Resposta

As duas soluções possíveis são
(-3+raiz21),x + 2,z - (3+raiz21) = 0 e (-3-raiz21),x + 2,z -3 + raiz21 = 0

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