Se a distância da origem a um plano é d, e esse plano intercepta os eixos em (a, 0,0), (0, b, 0) e (0,0, c) prove que:
1d^2=1a^2+1b^2+1c^2

Passo 1

O enunciado diz que temos um plano que intercepta os eixos coordenados em (a,0,0), (0,b,0) e (0,0,c), e que a distância desse plano até a origem é d. O conteúdo que vamos usar é:
  1. A forma intercepto de um plano em R^3.
  2. A fórmula da distância de um ponto (x0,y0,z0) ao plano Ax+By+Cz+D=0, que é
l|A x0 + B y0 + C z0 + Dr|raizA^2 + B^2 + C^2

Passo 2

A forma intercepto de um plano que corta os eixos em (a,0,0), (0,b,0) e (0,0,c) é
xa + yb + zc = 1
Multiplicando por abc obtém-se a forma padrão
(bc),x + (ac),y + (ab),z - abc = 0
Aqui identificamos A = bc, B = ac, C = ab e D = -abc.

Passo 3

Aplicando a fórmula da distância do ponto (0,0,0) (a origem) ao plano Ax + By + Cz + D = 0, temos
d = l|Acdot0 + Bcdot0 + Ccdot0 + Dr|raizA^2 + B^2 + C^2 = |D|raizA^2 + B^2 + C^2 = abcraiz(bc)^2 + (ac)^2 + (ab)^2

Passo 4

Agora calculamos tfrac1d^2. Primeiro escrevemos
d^2 = a^2 b^2 c^2b^2c^2 + a^2c^2 + a^2b^2
Invertemos para obter
1d^2 = b^2c^2 + a^2c^2 + a^2b^2a^2 b^2 c^2 = b^2c^2a^2 b^2 c^2 + a^2c^2a^2 b^2 c^2 + a^2b^2a^2 b^2 c^2 = 1a^2 + 1b^2 + 1c^2

Resposta

1d^2 ;=; 1a^2 ;+; 1b^2 ;+; 1c^2

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