Estude a posição relativa das retas r e s. Se as retas forem concorrentes encontre o ponto de intersecção delas.
d) r: x-1=y-3=z-12, s: x-13=y-1= z5

Passo 1

O enunciado pede para estudar a posição relativa de duas retas em R^3 dadas em forma simétrica. O conteúdo envolve transformar em forma paramétrica, extrair vetores diretores, testar paralelismo e, se não forem paralelas, resolver um sistema para ver se há interseção.

Passo 2

Escrevemos cada reta em forma paramétrica, introduzindo parâmetros t e u:
Para r:
x-1=y-3=z-12=t
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x=1+t, y=3+t, z=1+2t,
com vetor diretor vr=(1,1,2).
Para s:
x-13=y-1=z5=u
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x=1+3u, y=1+u, z=5u,
com vetor diretor vs=(3,1,5).

Passo 3

Testamos se vr e vs são colineares. Se existisse k tal que
(1,1,2)=k,(3,1,5),
teríamos k=1/3 pela primeira componente e k=1 pela segunda, o que é impossível. Portanto as retas não são paralelas.

Passo 4

Igualamos as coordenadas paramétricas para ver se há solução comum:
1+t = 1+3u, 3+t = 1+u, 1+2t = 5u
Das duas primeiras:
t=3u, t=u-2 ;Longrightarrow; 3u = u-2 ;Longrightarrow; u=-1,;t=-3
Verificando na terceira:
1+2(-3)=-5 e 5(-1)=-5,
coincidem, confirmando a interseção.

Resposta

As retas r e s são concorrentes e intersectam-se no ponto
P = (-2,,0,,-5)

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