Ache os três ângulos de um triângulo cujos vértices são (2,1),(-1,2),(3,-2). Veja se eles somam 180^circ

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os três ângulos de um triângulo cujos vértices são A=(2,1), B=(-1,2) e C=(3,-2), e verificar se a soma dá 180^circ. Vamos usar geometria analítica (distância entre pontos) e a lei dos cossenos para calcular cada ângulo.

Passo 2

Primeiro, calculamos os comprimentos dos lados opostos a cada vértice:
a = BC = raiz(3 - (-1))^2 + (-2 - 2)^2 = raiz4^2 + (-4)^2 = raiz32 = 4raiz2,
b = AC = raiz(3 - 2)^2 + (-2 - 1)^2 = raiz1 + 9 = raiz10,
c = AB = raiz(-1 - 2)^2 + (2 - 1)^2 = raiz9 + 1 = raiz10

Passo 3

Para o ângulo em A (oposto a a), aplicamos a lei dos cossenos:
cos A = b^2 + c^2 - a^22,b,c = 10 + 10 - 322raiz10,raiz10 = -1220 = -35
Portanto
A = arccosl(-tfrac35r)approx 126,87^circ

Passo 4

Para o ângulo em B (oposto a b), de novo a lei dos cossenos:
cos B = a^2 + c^2 - b^22,a,c = 32 + 10 - 102,(4raiz2),raiz10 = 328raiz20 = 4raiz20 = 2raiz5
Logo
B = arccosl(tfrac2raiz5r)approx 26,57^circ
Como b=c, o triângulo é isósceles e o ângulo em C é igual a B:
C approx 26,57^circ

Passo 5

Somando os três ângulos:
A + B + C approx 126,87^circ + 26,57^circ + 26,57^circ approx 180,01^circ,
o que, dentro dos erros de arredondamento, confirma que somam 180^circ.

Resposta

Aapprox126,87^circ
Bapprox26,57^circ
Capprox26,57^circ
Elas somam 180^circ.

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