Ache a equação da reta r3 que intercepta as retas a seguir e é perpendicular a ambas
r1:l x=1+2 t y=0, para todo t in R, r2:l x=0 y=2-s, z=-1+t para todo s in R z=1+4s

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui? Duas retas em ( e ), e precisamos achar a reta que cruza as duas e ainda é perpendicular a elas. Isso é geometria analítica no espaço: vamos usar vetores diretores, pontos de cada reta e produto escalar pra impor a condição de perpendicularidade.

Passo 2

Primeiro, vamos botar na roda as equações paramétricas das retas:
  • . Aqui e .
  • . Aqui e .

Passo 3

Agora pega um ponto genérico A em r1 e um genérico B em r2:
A=P1+t,vec v1=(1+2t,;0,;-1+t), B=P2+s,vec v2=(0,;2-s,;1+4s)
O vetor que liga A a B é AB=B-A.

Passo 4

Para que a reta que liga A e B seja perpendicular a r1 e r2, precisamos
ABcdot vec v1=0 e ABcdot vec v2=0
Calculando
AB=(-1-2t,;2-s,;2+4s-t),
então:
(-1-2t,2-s,2+4s-t)cdot(2,0,1)=0 ;Longrightarrow;-5t+4s=0,
(-1-2t,2-s,2+4s-t)cdot(0,-1,4)=0 ;Longrightarrow;6+17s-4t=0

Passo 5

Agora resolvemos o sistema
-5t+4s=0, -4t+17s+6=0
Da primeira equação vem s=tfrac5t4. Substituindo na segunda:
-4t+17cdottfrac5t4+6=0 ;Longrightarrow;69t=-24 ;Longrightarrow;t=-tfrac823, s=-tfrac1023

Passo 6

Com esses valores obtemos
A=l(1+2l(-tfrac823r),,0,,-1-tfrac823r) =l(tfrac723,0,-tfrac3123r),
B=l(0,,2-(-tfrac1023),,1+4(-tfrac1023)r) =l(0,tfrac5623,-tfrac1723r)

Passo 7

O vetor AB=B-A fica paralelo a (1,-8,-2), que é exatamente vec v1timesvec v2. Logo podemos usar vec d=(1,-8,-2) como vetor diretor de r3, passando por A.

Resposta

Uma parametrização para é

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