Se
é linear com
, qual é a dimensão da imagem?
pode ser sobrejetiva? (Justifique através do Teorema do Núcleo e da Imagem)
Passo 1
Então, a gente tem um problema de Álgebra Linear aqui. A questão fala sobre uma transformação linear
que vai de
para
. Sabemos que a dimensão do núcleo de
(ou seja, o conjunto de vetores que
manda para o zero) é 2. A tarefa é descobrir qual é a dimensão da imagem de
e também dizer se
pode ser uma transformação sobrejetiva (que basicamente significa que todo vetor em
tem um vetor em
que mapeia para ele). Vamos precisar do Teorema do Núcleo e da Imagem para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Núcleo e da Imagem. Esse teorema diz que, para qualquer transformação linear
, a dimensão do domínio
é igual à soma da dimensão do núcleo de
e da dimensão da imagem de
. Em fórmula, isso fica:
No nosso caso,
, então
, e já sabemos que
.
Passo 3
Vamos usar essa fórmula para encontrar a dimensão da imagem de
. Substituindo os valores que temos:
Agora, é só resolver essa equação para achar
:
Então, a dimensão da imagem de
é 2.
Passo 4
Agora, vamos ver se
pode ser sobrejetiva. Uma transformação é sobrejetiva se a imagem dela é exatamente o espaço de chegada, que nesse caso é
. Para isso, a dimensão da imagem teria que ser igual à dimensão de
, ou seja, 5.
Mas, como já vimos,
, que é menor que 5. Isso significa que a imagem de
não cobre todo o espaço
, então
não pode ser sobrejetiva.
Resposta
A dimensão da imagem de
é 2, e
não pode ser sobrejetiva.