Se T: R^4 R^5 é linear com dim(ker T)=2, qual é a dimensão da imagem? T pode ser sobrejetiva? (Justifique através do Teorema do Núcleo e da Imagem)

Passo 1

Então, a gente tem um problema de Álgebra Linear aqui. A questão fala sobre uma transformação linear T que vai de R^4 para R^5 . Sabemos que a dimensão do núcleo de T (ou seja, o conjunto de vetores que T manda para o zero) é 2. A tarefa é descobrir qual é a dimensão da imagem de T e também dizer se T pode ser uma transformação sobrejetiva (que basicamente significa que todo vetor em R^5 tem um vetor em R^4 que mapeia para ele). Vamos precisar do Teorema do Núcleo e da Imagem para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Núcleo e da Imagem. Esse teorema diz que, para qualquer transformação linear T: V W , a dimensão do domínio V é igual à soma da dimensão do núcleo de T e da dimensão da imagem de T . Em fórmula, isso fica:
dim(V) = dim(ker T) + dim(Im T)
No nosso caso, V = R^4 , então dim(V) = 4 , e já sabemos que dim(ker T) = 2 .

Passo 3

Vamos usar essa fórmula para encontrar a dimensão da imagem de T . Substituindo os valores que temos:
4 = 2 + dim(Im T)
Agora, é só resolver essa equação para achar dim(Im T) :
dim(Im T) = 4 - 2 = 2
Então, a dimensão da imagem de T é 2.

Passo 4

Agora, vamos ver se T pode ser sobrejetiva. Uma transformação é sobrejetiva se a imagem dela é exatamente o espaço de chegada, que nesse caso é R^5 . Para isso, a dimensão da imagem teria que ser igual à dimensão de R^5 , ou seja, 5.
Mas, como já vimos, dim(Im T) = 2 , que é menor que 5. Isso significa que a imagem de T não cobre todo o espaço R^5 , então T não pode ser sobrejetiva.

Resposta

A dimensão da imagem de T é 2, e T não pode ser sobrejetiva.

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