Seja
a união do primeiro e terceiro quadrantes no plano
. Em simbolos,
.
a. Se
pertencer a
e
for um escalar qualquer,
pertencerá a
? Por quê?
b. Determine vetores
pertencentes a
tais que
não pertence a
. Isso é suficiente para mostrar que
não é um espaço vetorial.
a. Se
b. Determine vetores
Passo 1
O enunciado define
como a união dos 1.º e 3.º quadrantes no plano. Queremos verificar duas propriedades que um subespaço vetorial deve satisfazer: fechamento sob multiplicação por escalar e fechamento sob adição vetorial.
Passo 2
Seja e
um escalar qualquer. Então as componentes de
são
e
Como
para todo escalar real
e
por hipótese, segue que
ou seja,
. Logo,
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 3
Para mostrar que
não é fechado sob adição, basta achar
tais que
. Por exemplo,
Temos
pois
e
pois
. Contudo,
e
, logo
. Isso mostra que
falha em ser fechado sob adição e, portanto, não é um espaço vetorial.
Resposta
a) Sim. Se
e
, então
, logo
.
b) Por exemplo, e
estão em
, mas
.
b) Por exemplo,