Seja W a união do primeiro e terceiro quadrantes no plano x y. Em simbolos, W=[lx y]: x y >= 0.
a. Se v pertencer a W e c for um escalar qualquer, c v pertencerá a W ? Por quê?
b. Determine vetores u e v pertencentes a W tais que u+v não pertence a W. Isso é suficiente para mostrar que W não é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado define
como a união dos 1.º e 3.º quadrantes no plano. Queremos verificar duas propriedades que um subespaço vetorial deve satisfazer: fechamento sob multiplicação por escalar e fechamento sob adição vetorial.

Passo 2

Seja e um escalar qualquer. Então as componentes de são e
Como para todo escalar real e por hipótese, segue que
ou seja, . Logo, é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 3

Para mostrar que W não é fechado sob adição, basta achar u,vin W tais que u+vnotin W. Por exemplo,
u = 10, v = 0-1
Temos uin W pois 1cdot0=0>=0 e vin W pois 0cdot(-1)=0>=0. Contudo,
u+v = 10 + 0-1 = 1-1
e (1)(-1)=-1<0, logo u+vnotin W. Isso mostra que W falha em ser fechado sob adição e, portanto, não é um espaço vetorial.

Resposta

a) Sim. Se vin W e cinR, então (c x)(c y)=c^2(x y)>=0, logo cvin W.
b) Por exemplo, u=10 e v=0-1 estão em W, mas u+v=1-1notin W.

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