Sejam T a reflexão sobre o eixo y e S a rotação de 45^circ em R^2. Encontre as matrizes de T circ S e S circ T.

Passo 1

O enunciado pede as matrizes das composições Tcirc S e Scirc T, em que T é a reflexão em torno do eixo y e S é a rotação de 45^circ em R^2. Vamos usar a ideia de que toda transformação linear em R^2 pode ser representada por matriz 2times2 e que a composição corresponde ao produto dessas matrizes.

Passo 2

Primeiro obtemos as matrizes de T e de S separadamente.
A reflexão em torno do eixo y troca x por -x e deixa y igual, logo
T ;=;-1 & 0 [4pt]0 & 1
A rotação de 45^circ tem matriz padrão
S ;=;1raiz2 cos45^circ & -sin45^circ [4pt] sin45^circ & cos45^circ ;=; 1raiz2 1 & -1 [4pt] 1 & 1 ]

Passo 3

Para Tcirc S aplicamos primeiro S e depois T, ou seja, multiplicamos as matrizes na ordem T,S:
Tcirc S;long<=ftrightarrow;T,S ;=; -1 & 0 [4pt]0 & 1 cdot 1raiz2 1 & -1 [4pt] 1 & 1 = 1raiz2 -1cdot1 + 0cdot1 & -1cdot(-1)+0cdot1 [4pt] 0cdot1 + 1cdot1 & 0cdot(-1)+1cdot1 = 1raiz2 -1 & 1 [4pt] 1 & 1 ]

Passo 4

Para Scirc T aplicamos primeiro T e depois S, isto é, multiplicamos na ordem S,T:
Scirc T;long<=ftrightarrow;S,T ;=; 1raiz2 1 & -1 [4pt] 1 & 1 cdot -1 & 0 [4pt]0 & 1 = 1raiz2 1cdot(-1)+(-1)cdot0 & 1cdot0+(-1)cdot1 [4pt] 1cdot(-1)+1cdot0 & 1cdot0+1cdot1 = 1raiz2 -1 & -1 [4pt] -1 & 1 ]

Resposta

A matriz de Tcirc S é
1raiz2 -1 & 1 [4pt] 1 & 1 ,
e a de Scirc T é
1raiz2 -1 & -1 [4pt] -1 & 1 ]

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