Resolva quando possível, as congruência:
12 x+36 equiv 0(bmod 28)

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa resolver a congruência
12x + 36 equiv 0 pmod28
Conteúdo: aritmética modular e congruência linear. Vamos usar restos, mdc (máximo divisor comum) e inverso modular pra encontrar todas as soluções.

Passo 2

Primeiro a gente isola o x. Subtraindo 36 dos dois lados:
12x equiv -36 pmod28
Como não gostamos de negativo, somamos 28 até ficar num número entre 0 e 27:
-36 + 28cdot2 = 20. Então
12x equiv 20 pmod28

Passo 3

Agora checamos se dá pra simplificar dividindo por algum número. Calculamos
gcd(12,28) = 4
Como 4 também divide o 20, a congruência tem solução (se não dividisse, não teria).

Passo 4

Dividimos tudo por 4:
124x equiv 204 pmodtfrac284 ;Longrightarrow; 3x equiv 5 pmod7
Pra resolver isso, achamos o inverso de 3 em bmod7:
3cdot5 = 15 equiv 1pmod7, então 3^-1equiv5.
Multiplicando ambos os lados por 5:
x equiv 5cdot5 = 25 equiv 4 pmod7

Passo 5

A solução geral é
x equiv 4 pmod7,
ou seja x = 4 + 7k com kin Z.
Como o módulo original era 28, dentro do intervalo de 0 a 27 temos quatro soluções distintas:
x equiv 4,,11,,18,,25 pmod28

Resposta

As soluções são
x = 4 + 7k, kin Z,
ou, em [0,27]:
x equiv 4,,11,,18,,25 pmod28

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