Ache a equação da reta $r_{3}$ que intercepta as retas a seguir e é perpendicular a ambas:

$r_{1}:\left\{\begin{array}{l} x=3+t \\ y=1-2 t \\ z=4 t \end{array} \quad \forall t \in \mathbb{R}, \quad r_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=1+2 s \\ y=-1+s \\ z=5 \end{array} \quad \forall s \in \mathbb{R}\right.\right.$

O enunciado pede a reta

r_{3}\) que intercepta as retas \[r_{1}:\begin{cases} x=3+t\\\ y=1-2t\\\ z=4t \end{cases},\; r_{2}:\begin{cases} x=1+2s\\\ y=-1+s\\\ z=5 \end{cases}

e é perpendicular a ambas. Esse é o problema da perpendicular comum a duas retas reversas (skew). Para resolvê-lo, vamos:

Encontrar os vetores diretores $\mathbf{v}_{1}\] e \(\mathbf{v}_{2}$ de $r_{1}$ e $r_{2}$ .
Calcular $\mathbf{d} = \mathbf{v}_{1}\times \mathbf{v}_{2}$ , direção de $r_{3}$ .
Determinar os pontos de interseção $A\in r_{1}$ e $B\in r_{2}$ exigindo que $\overrightarrow{BA}$ seja paralelo a $\mathbf{d}$ .
Escrever a equação paramétrica de $r_{3}$ .

Os vetores diretores são

\mathbf{v}_{1}=(1,\,-2,\,4), \quad \mathbf{v}_{2}=(2,\,1,\,0).

O produto vetorial dá

\mathbf{d} =\mathbf{v}_{1}\times\mathbf{v}_{2} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&-2&4\\\\ 2&1&0 \end{vmatrix} =(-4,\,8,\,5).

Seja

A(t)\) um ponto em \(r_{1}\) e \(B(s)\) um ponto em \(r_{2}\): \[A(t)=(3+t,\;1-2t,\;4t), \quad B(s)=(1+2s,\;-1+s,\;5).

Queremos

\overrightarrow{BA}=A(t)-B(s)=\alpha\,\mathbf{d}

. Escrevendo coordenada a coordenada:

\begin{cases} (3+t)-(1+2s)=-2+ t-2s =-4\alpha,\\\ (1-2t)-(-1+s)=-2 -2t -s =8\alpha,\\\\ 4t-5=5\alpha. \end{cases}

Da terceira equação vem (\alpha=(4t-5)/5]. Substituindo nas outras e resolvendo o sistema, obtemos

t=\frac{22}{21}, \quad s=\frac{6}{5}.

Os pontos de interseção são

A\bigl(\tfrac{22}{21}\bigr) =\Bigl(3+\tfrac{22}{21},\,1-2\cdot\tfrac{22}{21},\,4\cdot\tfrac{22}{21}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{85}{21},\,-\tfrac{23}{21},\,\tfrac{88}{21}\Bigr),

B\bigl(\tfrac{6}{5}\bigr) =\Bigl(1+2\cdot\tfrac{6}{5},\,-1+\tfrac{6}{5},\,5\Bigr) =\Bigl(\tfrac{17}{5},\,\tfrac{1}{5},\,5\Bigr).

A reta

r_{3}

passa por

B

e tem direção

\mathbf{d}=(-4,8,5)

Escrevendo a equação paramétrica de

r_{3}

com parâmetro

\lambda

r_{3}:\quad \begin{cases} x=\tfrac{17}{5}-4\lambda,\\\ y=\tfrac{1}{5}+8\lambda,\\\ z=5+5\lambda, \end{cases} \quad \lambda\in\mathbb{R}.

r_{3}:\; \begin{cases} x=\tfrac{17}{5}-4\lambda,\\\ y=\tfrac{1}{5}+8\lambda,\\\ z=5+5\lambda, \end{cases} \quad \lambda\in\mathbb{R}.

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