Ache a equação da reta que intercepta as seguintes retas e é perpendicular a ambas: e r2:lx=0 y=2-s z=1+4 s
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente achar a reta que corta as duas retas dadas e que seja perpendicular a ambas. Isso é Geometria Analítica 3D, e vamos usar:
representação paramétrica de retas;
conceito de produto escalar (para testar perpendicularidade);
resolver um sisteminha para achar os parâmetros onde as retas se cruzam com a nossa.
Passo 2
Primeiro, escrevemos cada reta em forma paramétrica com vetores diretores:
, então o vetor diretor é [\mathbf{v}_1=(2,0,1)).
.
Passo 3
Vamos chamar um ponto genérico na r1 de A(t)=(1+2t,;0,;-1+t)
e um ponto genérico na r2 de B(s)=(0,;2-s,;1+4s).
O vetor que liga A a B é AB=B-A=(-1-2t,;2-s,;2+4s-t).
Pra essa reta AB ser perpendicular a r1 e r2, a gente exige: ABcdot v1=0 e ABcdot v2=0.
Lembrando que produto escalar ;(a,b,c)cdot(d,e,f)=ad+be+cf, e se der zero, é ângulo de 90^circ.
Passo 4
Calculando cada produto escalar:
.
Passo 5
Resolvendo:
Da primeira eq. 4s=5t ⇒ s=tfrac54t.
Substituindo na segunda: 6+17l(tfrac54tr)-4t=0 ⇒ 6+tfrac854t-4t=0 ⇒ multiplicando por 4 ⇒ 24+85t-16t=0 ⇒ 69t=-24 ⇒ t=-tfrac2469=-tfrac823
Então s=tfrac54cdotl(-tfrac823r)=-tfrac1023
Agora achamos os pontos: Al(-tfrac823r)=l(1+2(-tfrac823),,0,,-1+(-tfrac823)r)=l(tfrac723,0,-tfrac3123r) Bl(-tfrac1023r)=l(0,;2-(-tfrac1023),;1+4(-tfrac1023)r)=l(0,tfrac5623,-tfrac1723r)
O vetor direção da reta comum é AB=B-A=l(-tfrac723,tfrac5623,tfrac1423r)=l(-7,56,14r)/23,
que simplifica (dividindo por 7) para d=(-1,8,2).
Passo 6
Pronto! A reta que intercepta r1 e r2 e é perpendicular a ambas passa por Pl(tfrac723,0,-tfrac3123r)
e tem vetor diretor d=(-1,8,2).
Em forma paramétrica, usando parâmetro u:
x=tfrac723-u, y=0+8u, z=-tfrac3123+2u
Resposta
ell:; x=tfrac723-u, y=8u, z=-tfrac3123+2u ,
ou, em forma simétrica, x-tfrac723-1 ;=;y8;=;z+tfrac31232.