Ache a equação da reta que intercepta as seguintes retas e é perpendicular a ambas:
r1:lx=1+2 t y=0 z=-1+t e r2:lx=0 y=2-s z=1+4 s

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente achar a reta que corta as duas retas dadas e que seja perpendicular a ambas. Isso é Geometria Analítica 3D, e vamos usar:
  1. representação paramétrica de retas;
  2. conceito de produto escalar (para testar perpendicularidade);
  3. resolver um sisteminha para achar os parâmetros onde as retas se cruzam com a nossa.

Passo 2

Primeiro, escrevemos cada reta em forma paramétrica com vetores diretores:
, então o vetor diretor é [\mathbf{v}_1=(2,0,1)).
.

Passo 3

Vamos chamar um ponto genérico na r1 de
A(t)=(1+2t,;0,;-1+t)
e um ponto genérico na r2 de
B(s)=(0,;2-s,;1+4s).
O vetor que liga A a B é
AB=B-A=(-1-2t,;2-s,;2+4s-t).
Pra essa reta AB ser perpendicular a r1 e r2, a gente exige:
ABcdot v1=0 e ABcdot v2=0.
Lembrando que produto escalar ;(a,b,c)cdot(d,e,f)=ad+be+cf, e se der zero, é ângulo de 90^circ.

Passo 4

Calculando cada produto escalar:
  1. .

Passo 5

Resolvendo:
Da primeira eq. 4s=5t s=tfrac54t.
Substituindo na segunda:
6+17l(tfrac54tr)-4t=0 6+tfrac854t-4t=0 ⇒ multiplicando por 4 ⇒ 24+85t-16t=0 69t=-24 t=-tfrac2469=-tfrac823
Então s=tfrac54cdotl(-tfrac823r)=-tfrac1023
Agora achamos os pontos:
Al(-tfrac823r)=l(1+2(-tfrac823),,0,,-1+(-tfrac823)r)=l(tfrac723,0,-tfrac3123r)
Bl(-tfrac1023r)=l(0,;2-(-tfrac1023),;1+4(-tfrac1023)r)=l(0,tfrac5623,-tfrac1723r)
O vetor direção da reta comum é
AB=B-A=l(-tfrac723,tfrac5623,tfrac1423r)=l(-7,56,14r)/23,
que simplifica (dividindo por 7) para d=(-1,8,2).

Passo 6

Pronto! A reta que intercepta r1 e r2 e é perpendicular a ambas passa por
Pl(tfrac723,0,-tfrac3123r)
e tem vetor diretor d=(-1,8,2).
Em forma paramétrica, usando parâmetro u:
x=tfrac723-u, y=0+8u, z=-tfrac3123+2u

Resposta

ell:; x=tfrac723-u, y=8u, z=-tfrac3123+2u ,
ou, em forma simétrica,
x-tfrac723-1 ;=;y8;=;z+tfrac31232.

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