Ache a equação da reta que intercepta as seguintes retas e é perpendicular a ambas:
e
r2:lx=0 y=1-4 s z=3 s
Passo 1
Resumão: temos as retas
e
.
O assunto é geometria analítica no espaço – vamos achar a reta que intercepta ambas e é perpendicular a elas. Para isso precisamos de:
- vetores diretores de
e , - produto vetorial (pra direção da reta procurada),
- produto escalar (pra impor perpendicularidade),
- resolução de um sistema de equações.
Passo 2
Extraindo os vetores diretores:
v1=(4,2,0) para
r1 e
v2=(0,-4,3) para
r2 .
Passo 3
Como a reta buscada deve ser perpendicular a ambas, seu vetor diretor
n é
Calculando componente a componente:
Podemos simplificar dividindo por 2:
Passo 4
Para definir a reta, ela tem que “tocar”
r1 em algum
P e “tocar”
r2 em algum
Q , de modo que
PQ seja paralelo a
n .
- Ponto genérico em
:r1
.P=(-1+4t,;1+2t,;0) - Ponto genérico em
:r2
.Q=(0,;1-4s,;3s)
Então
Como
PQ deve ser perpendicular a
v1 e a
v2 , impomos:
Passo 5
Escrevendo as equações:
- [(1-4t,, -4s-2t,,3s)\cdot(4,2,0)=0)
-
Resolvendo o sistema
da segunda vem (t=-\tfrac{25}{8}s]. Substituindo na primeira:
logo
.
Então
Então
Passo 6
A reta procurada passa por
e tem vetor diretor
Resposta
Em forma paramétrica, a equação da reta é
]