Ache a equação da reta que intercepta as seguintes retas e é perpendicular a ambas:
r1:lx=-1+4 t y=1+2 t z=0 e r2:lx=0 y=1-4 s z=3 s

Passo 1

Resumão: temos as retas
e
.
O assunto é geometria analítica no espaço – vamos achar a reta que intercepta ambas e é perpendicular a elas. Para isso precisamos de:
  • vetores diretores de e ,
  • produto vetorial (pra direção da reta procurada),
  • produto escalar (pra impor perpendicularidade),
  • resolução de um sistema de equações.

Passo 2

Extraindo os vetores diretores:
v1=(4,2,0) para r1 e v2=(0,-4,3) para r2.

Passo 3

Como a reta buscada deve ser perpendicular a ambas, seu vetor diretor n é
n ;=; v1 times v2 ;=;(4,2,0)times(0,-4,3)
Calculando componente a componente:
n=l(2cdot3-0cdot(-4),;0cdot0-4cdot3,;4cdot(-4)-2cdot0r) =(6,,-12,,-16)
Podemos simplificar dividindo por 2:
n=(3,,-6,,-8)

Passo 4

Para definir a reta, ela tem que “tocar” r1 em algum P e “tocar” r2 em algum Q, de modo que PQ seja paralelo a n.
  • Ponto genérico em r1:
    P=(-1+4t,;1+2t,;0).
  • Ponto genérico em r2:
    Q=(0,;1-4s,;3s).
    Então
PQ=Q-P =(1-4t,,-4s-2t,;3s)
Como PQ deve ser perpendicular a v1 e a v2, impomos:
PQcdot v1=0 e PQcdot v2=0

Passo 5

Escrevendo as equações:
  1. [(1-4t,, -4s-2t,,3s)\cdot(4,2,0)=0)

Resolvendo o sistema
da segunda vem (t=-\tfrac{25}{8}s]. Substituindo na primeira:
logo .
Então

Passo 6

A reta procurada passa por
Pl(-tfrac9109,,tfrac159109,,0r)
e tem vetor diretor
n=(3,,-6,,-8)

Resposta

Em forma paramétrica, a equação da reta é
boxed x=-9109+3lambda,[6pt] y=159109-6lambda,[6pt] z=-8lambda
]

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