Calcule os determinantes, escalonando a matriz.
|rrrr1 & -1 & -3 & 0 0 & 1 & 5 & 4 -1 & 0 & 5 & 3 3 & -3 & -2 & 3|

Passo 1

O enunciado pede o valor do determinante da matriz
A = 1 & -1 & -3 & 0 [6pt] 0 & 1 & 5 & 4 [6pt] -1 & 0 & 5 & 3 [6pt] 3 & -3 & -2 & 3
usando escalonamento. Vamos usar operações elementares de linha que não mudam o determinante (somar múltiplos de uma linha em outra) e ao final, numa matriz triangular, teremos
det(A) = prodi=1^4 aii, ]

Passo 2

Eliminamos as entradas abaixo de a11=1:
R3 R3+R1 e R4 R4-3R1. Essas operações não alteram det(A). A matriz vira
1 & -1 & -3 & 0 [3pt] 0 & 1 & 5 & 4 [3pt] 0 & -1 & 2 & 3 [3pt] 0 & 0 & 7 & 3 ]

Passo 3

Agora eliminamos a entrada -1 em posição (3,2) usando
R3 R3+R2. Fica
1 & -1 & -3 & 0 [3pt] 0 & 1 & 5 & 4 [3pt] 0 & 0 & 7 & 7 [3pt] 0 & 0 & 7 & 3 ]

Passo 4

Eliminamos a entrada 7 em (4,3) com
R4 R4-R3. Assim chegamos à forma triangular superior
1 & -1 & -3 & 0 [3pt] 0 & 1 & 5 & 4 [3pt] 0 & 0 & 7 & 7 [3pt] 0 & 0 & 0 & -4 ]

Passo 5

Em uma matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Como não fizemos trocas de linhas,
det(A) = 1 cdot 1 cdot 7 cdot (-4) = -28

Resposta

-28

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