Ache a equação da reta que intercepta as seguintes retas e é perpendicular a ambas:
r1:lx=t y=2 t z=3 e r2:lx=1 y=s z=2 s

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Ache a equação da reta que intercepta duas retas dadas e é perpendicular a ambas.” Isso é Geometria Analítica 3D. O que a gente vai precisar:
  1. Representação paramétrica das retas;
  2. Vetores diretores dessas retas;
  3. Produto escalar pra impor perpendicularidade;
  4. Resolver um sisteminha pra achar os parâmetros de interseção;
  5. Montar a reta procurada.

Passo 2

Primeiro, anota as duas retas:
r1:;x=t,;y=2t,;z=3
r2:;x=1,;y=s,;z=2s
– A reta r1 tem ponto qualquer P1(0,0,3) (quando t=0) e vetor diretor
v1=(1,2,0).
– A reta r2 tem ponto qualquer P2(1,0,0) (quando s=0) e vetor diretor
v2=(0,1,2).

Passo 3

Vamos chamar A o ponto de interseção na reta r1 e B o ponto de interseção na reta r2:
A=(t,2t,3),
B=(1,s,2s).
O vetor que liga A a B é
AB=B-A=(1-t,;s-2t,;2s-3).

Passo 4

Para que a reta AB seja perpendicular a r1, a gente exige
ABcdot v1=0.
E pra ser perpendicular a r2:
ABcdot v2=0.
Ou seja:
  1. (1-t,,s-2t,,2s-3)cdot(1,2,0)=0
  2. (1-t,,s-2t,,2s-3)cdot(0,1,2)=0

Passo 5

Calculando cada produto escalar:
  1. [(1-t)\cdot1+(s-2t)\cdot2+(2s-3)\cdot0=0)

    .


  2. .
    Temos o sistema
Da primeira: (2s=5t-1\Rightarrow s=\frac{5t-1}2].
Substitui na segunda:
Logo

Passo 6

Agora os pontos de interseção são
A=l(tfrac1721,,tfrac3421,,3r), B=l(1,,tfrac3221,,tfrac6421r)
O vetor diretor da reta procurada é
AB =l(1-tfrac1721,;tfrac3221-tfrac3421,;tfrac6421-3r) =l(tfrac421,,-tfrac221,;tfrac121r),
que é proporcional a (4,-2,1).
Então uma forma paramétrica é
x=tfrac1721+4lambda, y=tfrac3421-2lambda, z=3+lambda

Resposta

A equação da reta que intercepta r1 e r2 e é perpendicular a ambas pode ser escrita em forma paramétrica como
boxed l(x,y,zr) =l(tfrac1721,,tfrac3421,,3r) +lambda,(4,,-2,,1), lambdainR

Exercícios relacionados