Ache a equação da reta que intercepta as seguintes retas e é perpendicular a ambas: e r2:lx=1 y=s z=2 s
Passo 1
Beleza, o enunciado pede: “Ache a equação da reta que intercepta duas retas dadas e é perpendicular a ambas.” Isso é Geometria Analítica 3D. O que a gente vai precisar:
Representação paramétrica das retas;
Vetores diretores dessas retas;
Produto escalar pra impor perpendicularidade;
Resolver um sisteminha pra achar os parâmetros de interseção;
Montar a reta procurada.
Passo 2
Primeiro, anota as duas retas: r1:;x=t,;y=2t,;z=3 r2:;x=1,;y=s,;z=2s
– A reta r1 tem ponto qualquer P1(0,0,3) (quando t=0) e vetor diretor v1=(1,2,0).
– A reta r2 tem ponto qualquer P2(1,0,0) (quando s=0) e vetor diretor v2=(0,1,2).
Passo 3
Vamos chamar A o ponto de interseção na reta r1 e B o ponto de interseção na reta r2: A=(t,2t,3), B=(1,s,2s).
O vetor que liga A a B é AB=B-A=(1-t,;s-2t,;2s-3).
Passo 4
Para que a reta AB seja perpendicular a r1, a gente exige ABcdot v1=0.
E pra ser perpendicular a r2: ABcdot v2=0.
Ou seja:
(1-t,,s-2t,,2s-3)cdot(1,2,0)=0
(1-t,,s-2t,,2s-3)cdot(0,1,2)=0
Passo 5
Calculando cada produto escalar:
[(1-t)\cdot1+(s-2t)\cdot2+(2s-3)\cdot0=0)
→
→ .
→
→ .
Temos o sistema
Da primeira: (2s=5t-1\Rightarrow s=\frac{5t-1}2].
Substitui na segunda: