Para cada reta, determine os pontos de interseção com os planos coordenados:
Reta: lx=1+3 t y=2-2 t z=5-8 t

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar onde a reta
x = 1 + 3t y = 2 - 2t z = 5 - 8t
corta cada um dos planos coordenados (ou seja, os planos xy, xz e yz). Isso é Geometria Analítica no espaço e a ideia é usar as equações paramétricas da reta, impor a condição do plano (tipo z=0 para o plano xy), achar o t e então computar as outras duas coordenadas.

Passo 2

Antes de sair calculando: vamos lembrar quais são os planos coordenados
  • Plano xy: dado por z=0.
  • Plano xz: dado por y=0.
  • Plano yz: dado por x=0.
Em cada caso, a estratégia é igual:
  1. Fazer a condição do plano (por exemplo, z=0).
  2. Resolver para t.
  3. Substituir esse t nas expressões de x e y (ou nas que restarem) pra achar o ponto.

Passo 3

Interseção com o plano xy ( z=0):
Temos z = 5 - 8t.
Impondo 5 - 8t = 0, vem
8t = 5 Longrightarrow t = 58
Agora calculamos
x = 1 + 3l(58r) = 1 + 158 = 88 + 158 = 238,
y = 2 - 2l(58r) = 2 - 108 = 168 - 108 = 68 = 34
Logo, o ponto de interseção com o plano xy é
l(tfrac238,,tfrac34,,0r).

Passo 4

Interseção com o plano xz ( y=0):
Temos y = 2 - 2t.
Fazendo 2 - 2t = 0, dá
2t = 2 Longrightarrow t = 1
Substituindo:
x = 1 + 3cdot1 = 4, z = 5 - 8cdot1 = -3
Então o ponto é (4,,0,,-3).

Passo 5

Interseção com o plano yz ( x=0):
Temos x = 1 + 3t.
Fazendo 1 + 3t = 0, temos
3t = -1 Longrightarrow t = -13
Substituindo:
y = 2 - 2l(-13r) = 2 + 23 = 63 + 23 = 83,
z = 5 - 8l(-13r) = 5 + 83 = 153 + 83 = 233
Logo o ponto é l(0,,tfrac83,,tfrac233r).

Resposta

Pontos de interseção da reta com os planos coordenados:
  • Plano xy ( z=0): l(tfrac238,,tfrac34,,0r).
  • Plano xz ( y=0): (4,,0,,-3).
  • Plano yz ( x=0): l(0,,tfrac83,,tfrac233r).

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