Ache a equação da reta normal à curva y=6x+2 no ponto (1,2).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a equação da reta normal à curva no ponto . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente, e então determinar a reta normal. Precisaremos calcular a derivada da função, avaliar no ponto dado, e aplicar a fórmula da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função y = 6(x + 2)^-1 . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto.
A função pode ser reescrita como:
dydx = -6(x + 2)^-2 cdot 1 = -6(x + 2)^2
Usando a regra do poder para derivadas:

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto dydxg|x=1 = -6(1 + 2)^2 = -69 = -23 . Basta substituir na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

A reta normal é perpendicular à reta tangente. Portanto, a inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente.
Calculando:
mnormal = -1mtan>=nte = -1-23 = 32

Passo 5

Agora que temos a inclinação da reta normal y - y1 = m(x - x1) e um ponto por onde ela passa y - 2 = 32(x - 1) , podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta normal à curva y - 2 = 32(x - 1) no ponto é:

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