Ache os pontos da curva y=x^3-6 x^2+10 nos quais a reta tangente é paralela à reta y=-9 x+4. Ache também as respectiva equações dessas retas

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a curva definida por e queremos encontrar os pontos dessa curva onde a reta tangente é paralela à reta . Além disso, precisamos determinar as equações dessas retas tangentes.
Vamos precisar de conhecimentos sobre derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e comparar com a inclinação da reta dada para que sejam paralelas.

Passo 2

Para encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto específico, precisamos da derivada da função, que nos dá a inclinação da tangente naquele ponto. Então, vamos calcular a derivada de dydx = 3x^2 - 12x .
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Sabemos que duas retas são paralelas se tiverem a mesma inclinação. A inclinação da reta 3x^2 - 12x = -9 é -9. Portanto, queremos encontrar os valores de para os quais a derivada é igual a -9.
Então, igualamos a derivada a -9:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de 3x^2 - 12x + 9 = 0 .
Primeiro, trazemos o -9 para o outro lado:
x^2 - 4x + 3 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática (x - 1)(x - 3) = 0 . Podemos fatorar:
x = 1 e x = 3
Assim, as soluções são:

Passo 6

Agora que temos os valores de y = (1)^3 - 6(1)^2 + 10 = 1 - 6 + 10 = 5 , vamos encontrar as correspondentes coordenadas y = (3)^3 - 6(3)^2 + 10 = 27 - 54 + 10 = -17 na curva original .
Para :
Para :
Então, os pontos são e .

Passo 7

Agora, vamos encontrar as equações das retas tangentes nesses pontos. Sabemos que a inclinação dessas retas é -9 (para serem paralelas à reta dada) e que elas passam pelos pontos y - y1 = m(x - x1) e .
A equação da reta tangente pode ser escrita na forma:
onde é a inclinação e é o ponto da tangente.

Passo 8

Para o ponto y - 5 = -9(x - 1) com inclinação y - 5 = -9x + 9 :
y = -9x + 14
Distribuindo o -9:
y - (-17) = -9(x - 3)
Somando 5 dos dois lados:
y + 17 = -9x + 27
Para o ponto y = -9x + 10 com inclinação :
Simplificando:
Subtraindo 17 dos dois lados:

Resposta

Os pontos da curva onde a reta tangente é paralela à reta y = -9x + 14 são y = -9x + 10 e . As equações dessas retas tangentes são:
e

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