Ache os pontos da curva
nos quais a reta tangente é paralela à reta
. Ache também as respectiva equações dessas retas
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos a curva definida por
e queremos encontrar os pontos dessa curva onde a reta tangente é paralela à reta
. Além disso, precisamos determinar as equações dessas retas tangentes.
Vamos precisar de conhecimentos sobre derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e comparar com a inclinação da reta dada para que sejam paralelas.
Passo 2
Para encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto específico, precisamos da derivada da função, que nos dá a inclinação da tangente naquele ponto. Então, vamos calcular a derivada de
.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Sabemos que duas retas são paralelas se tiverem a mesma inclinação. A inclinação da reta
é -9. Portanto, queremos encontrar os valores de
para os quais a derivada
é igual a -9.
Então, igualamos a derivada a -9:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Primeiro, trazemos o -9 para o outro lado:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática
. Podemos fatorar:
Assim, as soluções são:
Passo 6
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar as correspondentes coordenadas
na curva original
.
Para
:
Para
:
Então, os pontos são
e
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar as equações das retas tangentes nesses pontos. Sabemos que a inclinação dessas retas é -9 (para serem paralelas à reta dada) e que elas passam pelos pontos
e
.
A equação da reta tangente pode ser escrita na forma:
onde
é a inclinação e
é o ponto da tangente.
Passo 8
Para o ponto
com inclinação
:
Distribuindo o -9:
Somando 5 dos dois lados:
Para o ponto
com inclinação
:
Simplificando:
Subtraindo 17 dos dois lados:
Resposta
Os pontos da curva onde a reta tangente é paralela à reta
são
e
. As equações dessas retas tangentes são:
e