Um certo cartaz deverá ter
para a mensagem impressa, deve ter 10 cm de margem inferior e superior, 5 cm de margem a esquerda e a direita. Determine as dimensões totais do cartaz para a quantidade de papel usada seja mínima.
Passo 1
Então, temos um exercício sobre otimização de área, especificamente para encontrar as dimensões de um cartaz. A gente precisa garantir que a área dedicada à mensagem seja de
, considerando margens de 10 cm na parte superior e inferior, e 5 cm nas laterais. Nosso objetivo é descobrir as medidas total do cartaz de forma que a quantidade de papel usada seja a mínima possível. Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática básica e cálculo de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o cartaz como um retângulo maior, que é o cartaz inteiro, e dentro dele há um retângulo menor onde a mensagem será impressa. As margens são as distâncias entre esses dois retângulos.
Passo 3
Vamos chamar a largura da área da mensagem de
cm e a altura de
cm. Sabemos que a área da mensagem é
, então:
Passo 4
Agora, precisamos expressar a largura total e a altura total do cartaz, incluindo as margens. Como há margens de 5 cm nas laterais, a largura total do cartaz será
cm. De forma similar, com margens de 10 cm na parte superior e inferior, a altura total será
cm.
Passo 5
A área total do cartaz, que queremos minimizar, é dada por:
Mas como já sabemos que
, podemos expressar
em função de
:
Passo 6
Substituindo
na fórmula da área total:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 7
Para encontrar o valor de
que minimiza a área total, vamos derivar a função
em relação a
e igualar a derivada a zero.
Primeiro, expandimos a função:
Agora, derivamos:
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto mínimo:
Passo 8
Agora que encontramos
cm, podemos encontrar
usando a relação
:
Resposta
As dimensões totais do cartaz para minimizar a quantidade de papel usada são 30 cm de largura e 60 cm de altura.