Um certo cartaz deverá ter 800 cm^2 para a mensagem impressa, deve ter 10 cm de margem inferior e superior, 5 cm de margem a esquerda e a direita. Determine as dimensões totais do cartaz para a quantidade de papel usada seja mínima.

Passo 1

Então, temos um exercício sobre otimização de área, especificamente para encontrar as dimensões de um cartaz. A gente precisa garantir que a área dedicada à mensagem seja de , considerando margens de 10 cm na parte superior e inferior, e 5 cm nas laterais. Nosso objetivo é descobrir as medidas total do cartaz de forma que a quantidade de papel usada seja a mínima possível. Para resolver isso, vamos usar um pouco de matemática básica e cálculo de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o cartaz como um retângulo maior, que é o cartaz inteiro, e dentro dele há um retângulo menor onde a mensagem será impressa. As margens são as distâncias entre esses dois retângulos.

Passo 3

Vamos chamar a largura da área da mensagem de x times y = 800 cm e a altura de cm. Sabemos que a área da mensagem é , então:

Passo 4

Agora, precisamos expressar a largura total e a altura total do cartaz, incluindo as margens. Como há margens de 5 cm nas laterais, a largura total do cartaz será cm. De forma similar, com margens de 10 cm na parte superior e inferior, a altura total será cm.

Passo 5

A área total do cartaz, que queremos minimizar, é dada por:
A = (x + 10) times (y + 20)
Mas como já sabemos que y = 800x , podemos expressar em função de :

Passo 6

Substituindo A(x) = (x + 10) times ( 800x + 20 ) na fórmula da área total:
A(x) = (x + 10) times ( 800 + 20xx ) = (x + 10)(800 + 20x)x
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 7

Para encontrar o valor de A(x) = 800x + 20x^2 + 8000 + 200xx = 800 + 20x + 8000x + 200 que minimiza a área total, vamos derivar a função A(x) = 20x + 8000x + 1000 em relação a A'(x) = 20 - 8000x^2 e igualar a derivada a zero.
Primeiro, expandimos a função:
20 - 8000x^2 = 0
8000x^2 = 20
Agora, derivamos:
x^2 = 800020 = 400
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto mínimo:
x = raiz400 = 20 , cm

Passo 8

Agora que encontramos y = 80020 = 40 , cm cm, podemos encontrar usando a relação :

Resposta

As dimensões totais do cartaz para minimizar a quantidade de papel usada são 30 cm de largura e 60 cm de altura.

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