Ache a equação da reta que passa a uma distância h da origem e cujo segmento de tamanho h forma um ângulo alpha como o eixo x. Dica: Ache os pontos onde a reta intercepta o eixo x e o eixo y em termos de h, alpha e use o resultado do item a.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que está à distância h da origem e tal que o segmento perpendicular da origem até a reta tem comprimento h e faz ângulo alpha com o eixo x.
Conteúdo: equação da reta em forma de interceptos
O que vamos usar:
  1. As coordenadas do pé da perpendicular da origem à reta, sabendo comprimento e ângulo.
  2. A forma de equação de reta pelo intercepto com os eixos:
xa+yb=1

Passo 2

O pé da perpendicular da origem à reta é um ponto M tal que OM tem módulo h e direção que faz ângulo alpha com o eixo x. Logo,
M = l(hcosalpha,;hsinalphar)

Passo 3

Na forma de interceptos, a reta intercepta o eixo x em A=(a,0) e o eixo y em B=(0,b). Vamos achar a e b usando que a reta passa por M.
Para y=0 (no eixo x), a reta deve satisfazer as coordenadas de M? Melhor: sabemos geometria — a reta é perpendicular a OM, logo tem forma normal com vetor normal (cosalpha,sinalpha). Mas, usando interceptos: basta impor que o pé da perpendicular esteja a distância h, o que já fizemos. Então de modo mais direto:
– Intercepto em x: em y=0, o ponto é l(a,0r). A distância da origem a esse ponto ao longo da direção alpha é bem maior que h, mas a fórmula da reta virá a seguir—vamos achar a e b diretamente do caso normal:

Passo 4

Saber que o vetor normal da reta é n=(cosalpha,sinalpha) implica que a equação em forma normal é
cosalpha;x+sinalpha;y = d,
onde d é a distância assinada da origem à reta. Como a reta está a distância positiva h, temos d=h.
Assim
cosalpha,x+sinalpha,y = h

Passo 5

Para conferir via interceptos, note que em y=0 temos
cosalpha,x = h Longrightarrow x = hcosalphaequiv a,
e em x=0
sinalpha,y = h Longrightarrow y = hsinalphaequiv b
Logo a forma de interceptos seria
xh/cosalpha ;+;yh/sinalpha=1,
que simplifica para
xcosalphah+ysinalphah=1 ;Long<=ftrightarrow; cosalpha,x+sinalpha,y = h

Resposta

A equação da reta é
boxedcosalpha,x+sinalpha,y = h

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