Considere as retas r e s de equações cartesianas:
r r: a x+b y=c s: a x+b y=d
Mostre que a distância d(r, s) entre r e s obedece a equação:
d(r, s)=|c-d|raiza^2+b^2

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma geral
r: a x + b y - c = 0 e s: a x + b y - d = 0
e pede a distância entre elas. O conteúdo envolve a noção de retas paralelas (mesmo vetor normal (a,b)) e a fórmula da distância de um ponto a uma reta:
dl((x0,y0),,a x+b y - c=0r) =l|a x0 + b y0 - cr|raiza^2+b^2

Passo 2

Primeiro notamos que ambas as equações têm o mesmo vetor normal (a,b), logo r e s são paralelas. A distância entre duas retas paralelas é igual à distância de qualquer ponto de uma até a outra.

Passo 3

Seja P0=(x0,y0) um ponto qualquer pertencente à reta s. Isso significa
a x0 + b y0 - d = 0

Passo 4

Aplicamos a fórmula da distância de P0 à reta r:
d(r,s) =dl(P0,rr) =l|a x0 + b y0 - cr|raiza^2+b^2 =l|,d-c,r|raiza^2+b^2,
pois a x0 + b y0 = d.

Resposta

d(r,s)=|c-d|raiza^2+b^2

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