Responda se cada uma das afirmações abaixo é falsa ou verdadeira e justifique sua resposta:
(A B)^-1=A^-1 cdot B^-1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, para duas matrizes invertíveis A e B, vale
(Acdot B)^-1=A^-1cdot B^-1
O conteúdo aqui é a propriedade do inverso de um produto de matrizes; vamos usar a definição de matriz inversa e a identidade matricial.

Passo 2

Por definição, se M é invertível então
Mcdot M^-1=I e M^-1cdot M=I,
onde I é a matriz identidade. Para encontrar (Acdot B)^-1 precisamos achar uma matriz X tal que
(Acdot B)cdot X = I e Xcdot(Acdot B)=I

Passo 3

Testando a ordem inversa correta, tome X = B^-1cdot A^-1. Então
(Acdot B)cdot (B^-1cdot A^-1) = Acdot (Bcdot B^-1)cdot A^-1 = Acdot Icdot A^-1 = I,
e de modo semelhante (B^-1cdot A^-1)cdot (Acdot B)=I. Logo
(Acdot B)^-1 = B^-1cdot A^-1

Passo 4

Se em vez disso usássemos A^-1cdot B^-1, teríamos
(Acdot B)cdot (A^-1cdot B^-1) = Acdot (Bcdot A^-1)cdot B^-1,
e em geral Bcdot A^-1neq I (porque A e B não comutam). Portanto A^-1cdot B^-1 não satisfaz a condição de inversa de Acdot B.

Resposta

A afirmação é falsa. O correto é
(Acdot B)^-1 = B^-1cdot A^-1

Exercícios relacionados