Ache a equação da reta que passa pelo ponto (2,1,5) e que intercepta a reta
x-13=y+24=z-32
perpendicularmente.

Passo 1

O enunciado pede a reta que passa por P=(2,1,5) e que intercepta, num ponto Q, a reta
x-13=y+24=z-32,
de modo que essa reta seja perpendicular à direção dessa reta dada. Vamos usar representação paramétrica de retas e a condição de perpendicularidade via produto escalar.

Passo 2

Escrevendo a reta dada L em forma paramétrica, tomamos o parâmetro t e o ponto inicial A=(1,-2,3) com vetor diretor v=(3,4,2):
L: x = 1 + 3t, y = -2 + 4t, z = 3 + 2t

Passo 3

O ponto genérico de interseção Q está em L, logo
Q=(1+3t,,-2+4t,,3+2t)
A reta buscada será o segmento PQ estendido, cujo vetor diretor é PQ=Q-P. Para que ela seja perpendicular a L, devemos ter
PQcdot v=0

Passo 4

Calculando PQ e impondo a perpendicularidade:
PQ=(1+3t-2,,-2+4t-1,,3+2t-5)=(-1+3t,,-3+4t,,-2+2t),
(-1+3t,, -3+4t,, -2+2t)cdot(3,4,2)=0
Isso dá
3(-1+3t)+4(-3+4t)+2(-2+2t)=0

Passo 5

Expandindo e resolvendo para t:
-3+9t-12+16t-4+4t=0 Longrightarrow 29t-19=0 Longrightarrow t=1929

Passo 6

Com t=tfrac1929, obtemos
Q=l(1+3cdottfrac1929,,-2+4cdottfrac1929,,3+2cdottfrac1929r) =l(tfrac8629,,tfrac1829,,tfrac12529r)

Passo 7

O vetor diretor da reta buscada é
PQ =l(tfrac8629-2,;tfrac1829-1,;tfrac12529-5r) =l(tfrac2829,;-tfrac1129,;-tfrac2029r),
que é proporcional a (28,-11,-20).

Passo 8

Portanto, uma equação paramétrica da reta procurada, usando parâmetro s, é
x = 2 + 28s, y = 1 - 11s, z = 5 - 20s
Em forma simétrica:
x-228=y-1-11=z-5-20

Resposta

A reta que passa por (2,1,5) e intercepta ortogonalmente
x-13=y+24=z-32
pode ser escrita como
x-228=y-1-11=z-5-20

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