Determine os valores de a e b de modo que os planos x+2 y+z=b e 3 x-5 y+3 z=1 e 2 x+7 y+a z=8 se interceptem:
b) uma reta

Passo 1

O enunciado quer os valores de a e b tais que os três planos
P1:,x+2y+z=b, P2:,3x-5y+3z=1, P3:,2x+7y+az=8
se interceptem numa reta. Geometricamente, isso ocorre se o vetor normal de um dos planos for combinação linear dos outros dois, e ao mesmo tempo os termos constantes satisfizerem a mesma combinação.

Passo 2

Denotando
Isso gera o sistema
Resolvendo, da primeira equação (\alpha=2-3\beta]. Substituindo na segunda:

Passo 3

Com alpha e beta encontrados, o terceiro componente de n3
a = alphacdot1 + betacdot3 = 3111 - 911 = 2211 =2

Passo 4

Para que os planos de fato se combinem da mesma forma nas constantes, devemos ter
alpha,b + betacdot1 = 8
Substituindo alpha=tfrac3111 e beta=-tfrac311,
3111,b - 311 = 8 ;Longrightarrow; 31,b -3 = 88 ;Longrightarrow; 31,b =91 ;Longrightarrow; b = 9131

Resposta

a=2 e b=9131.

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