Estude a posição relativa das retas r e s. Se as retas forem concorrentes encontre o ponto de intersecção delas.
e) r: X=(3,0,2)+t(1,1,-2)
s:l x+y+z=5 x-3 y-z=1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a posição relativa de duas retas em
e a reta dada como interseção de dois planos
Vamos precisar dos vetores diretores de cada reta e verificar se são paralelas ou coincidentes; em caso de paralelismo, checar se um ponto de .

Passo 2

O vetor diretor de r é
dr=(1,1,-2)
Para achar o vetor diretor de s, tomamos os normais dos planos
n1=(1,1,1) e n2=(1,-3,-1) e calculamos o produto vetorial:
ds = n1 times n2 = i & j & k 1 & 1 & 1 1 & -3 & -1 = (2,2,-4)
Simplificando o fator comum 2, obtemos
ds=(1,1,-2)

Passo 3

Como
dr=(1,1,-2) e ds=(1,1,-2),
os vetores diretores são múltiplos, logo as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 4

Para decidir se são coincidentes, verificamos se o ponto inicial de r, P0=(3,0,2), satisfaz as equações de s:
3+0+2=5,
3-3cdot0-2=1
Como ambas as igualdades são verdadeiras, P0in s. Portanto r está contida em s, isto é, as retas coincidem.

Resposta

As retas r e s são coincidentes.

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