Desesigrando por R(A) o espaço das colunas, por L(A) o espaço das linhas e por N(A) o núcleo de uma matriz A, determine a dimensão e uma base de cada um dos espaços R(A), L(A) e N(A) para a matriz:
A=(cccc2 & 1 & 3 & 5 0 & -1 & 4 & 5 2 & 2 & 3 & 0)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 2 & 1 & 3 & 5 0 & -1 & 4 & 5 2 & 2 & 3 & 0
e pede a dimensão e uma base de
1. R(A), o espaço das colunas;
2. L(A), o espaço das linhas;
3. N(A), o núcleo.
Para isso vamos usar eliminação de Gauss até a forma escalonada reduzida e depois extrair pivôs e variáveis livres.

Passo 2

Aplicando operações de linha para levar A à forma escalonada reduzida:
2 & 1 & 3 & 5 0 & -1 & 4 & 5 2 & 2 & 3 & 0 ;xrightarrowR3>=ts R3-R1; 2 & 1 & 3 & 5 0 & -1 & 4 & 5 0 & 1 & 0 & -5 ;xrightarrowR2rightarrow R3; 2 & 1 & 3 & 5 0 & 1 & 0 & -5 0 & -1 & 4 & 5
xrightarrowR3>=ts R3+R2; 2 & 1 & 3 & 5 0 & 1 & 0 & -5 0 & 0 & 4 & 0 ;xrightarrowR3>=ts tfrac14R3; 2 & 1 & 3 & 5 0 & 1 & 0 & -5 0 & 0 & 1 & 0
xrightarrowR1>=ts R1-3R3; 2 & 1 & 0 & 5 0 & 1 & 0 & -5 0 & 0 & 1 & 0 ;xrightarrowR1>=ts R1-R2; 2 & 0 & 0 & 10 0 & 1 & 0 & -5 0 & 0 & 1 & 0 ;xrightarrowR1>=ts tfrac12 R1; 1 & 0 & 0 & 5 0 & 1 & 0 & -5 0 & 0 & 1 & 0
Esta é a forma escalonada reduzida (RREF).

Passo 3

Os pivôs estão nas colunas , e , logo .
O espaço das colunas tem dimensão e é gerado pelas colunas originais de correspondentes a esses pivôs, ou seja

Passo 4

O espaço das linhas L(A) tem a mesma dimensão do posto, 3, e sua base pode ser tomada como as três linhas não nulas da RREF, isto é
(1,;0,;0,;5), (0,;1,;0,;-5), (0,;0,;1,;0)

Passo 5

Para o núcleo resolvemos A x=0 a partir da RREF:
;x1 +5x4=0,;x2 -5x4=0,;x3=0, e x4 fica livre. Tomando x4=t,
x = (x1,x2,x3,x4) = t(-5,;5,;0,;1)
Portanto dim N(A)=1 e uma base para N(A) é
(-5,;5,;0,;1)

Resposta

dim R(A)=3 .
Base de R(A):
,(2,0,2)^T,;(1,-1,2)^T,;(3,4,3)^T
dim L(A)=3 .
Base de L(A):
(1,0,0,5),;(0,1,0,-5),;(0,0,1,0)
dim N(A)=1 .
Base de N(A):
(-5,5,0,1)

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