Desesigrando por o espaço das colunas, por o espaço das linhas e por o núcleo de uma matriz , determine a dimensão e uma base de cada um dos espaços , e para a matriz:
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = 2 & 1 & 3 & 5 0 & -1 & 4 & 5 2 & 2 & 3 & 0
e pede a dimensão e uma base de 1. R(A), o espaço das colunas; 2. L(A), o espaço das linhas; 3. N(A), o núcleo.
Para isso vamos usar eliminação de Gauss até a forma escalonada reduzida e depois extrair pivôs e variáveis livres.
Passo 2
Aplicando operações de linha para levar A à forma escalonada reduzida:
Os pivôs estão nas colunas , e , logo .
O espaço das colunas tem dimensão e é gerado pelas colunas originais de correspondentes a esses pivôs, ou seja
Passo 4
O espaço das linhas L(A) tem a mesma dimensão do posto, 3, e sua base pode ser tomada como as três linhas não nulas da RREF, isto é
(1,;0,;0,;5), (0,;1,;0,;-5), (0,;0,;1,;0)
Passo 5
Para o núcleo resolvemos A x=0 a partir da RREF: ;x1 +5x4=0,;x2 -5x4=0,;x3=0, e x4 fica livre. Tomando x4=t,
x = (x1,x2,x3,x4) = t(-5,;5,;0,;1)
Portanto dim N(A)=1 e uma base para N(A) é
(-5,;5,;0,;1)
Resposta
dim R(A)=3 .
Base de R(A): ,(2,0,2)^T,;(1,-1,2)^T,;(3,4,3)^T dim L(A)=3 .
Base de L(A): (1,0,0,5),;(0,1,0,-5),;(0,0,1,0) dim N(A)=1 .
Base de N(A): (-5,5,0,1)