Ache a equação da reta que passa no ponto (1,-2,1) e é perpendicular à reta X=(1,0,1)+t(1,-2,1).

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos a reta que passa por A=(1,-2,1) e é perpendicular à reta
L: X=(1,0,1)+t,(1,-2,1)
Conteúdo: geometria vetorial no espaço, projeção ortogonal de um ponto em uma reta e determinação da reta perpendicular que a intercepta.

Passo 2

Calculamos o pé da perpendicular Q de A em L por projeção. Seja P0=(1,0,1) o ponto base de L e v=(1,-2,1) seu vetor diretor. Então
P0A=A-P0=(0,-2,0),
t0=P0Acdotvvcdotv =0cdot1+(-2)cdot(-2)+0cdot11^2+(-2)^2+1^2 =46 =23
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Q=P0+t0,v =l(1,0,1r)+tfrac23,(1,-2,1) =l(tfrac53,-tfrac43,tfrac53r)

Passo 3

O vetor diretor da reta perpendicular é AQ=Q-A:
AQ = l(tfrac53-1,,-tfrac43+2,;tfrac53-1r) = l(tfrac23,tfrac23,tfrac23r) sim (1,1,1)

Passo 4

Escrevemos a equação paramétrica da reta perpendicular, com ponto A e vetor diretor (1,1,1):
X=(1,-2,1)+s,(1,1,1)

Resposta

boxedX=(1,-2,1)+t,(1,1,1),
ou na forma simétrica
x-11=y+21=z-11

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