Sejam
, B e C os vértices de um triângulo, e, r a reta quem contém a bissetriz do ângulo interno do vértice
. Mostre que a equação de
é dada por
.
Passo 1
O enunciado pede a equação paramétrica da reta que passa por
e é a bissetriz do ângulo interno
. O conteúdo essencial é mostrar que o vetor direção dessa reta pode ser escolhido como a soma dos vetores unitários
e
. Para isso, vamos usar propriedades do produto escalar e o fato de que a bissetriz faz ângulos iguais com os lados
e
.
Passo 2
Definimos os vetores unitários
Esses vetores apontam, respectivamente, de
para
e de
para
, ambos com norma igual a 1.
Passo 3
Mostramos que o vetor
forma com
o mesmo ângulo que forma com
. De fato, pelo produto escalar,
Como
, segue
Isso implica que o ângulo entre
e
é igual ao ângulo entre
e
, logo
é direção da bissetriz de
.
Passo 4
Como a reta bissetriz parte de
e tem direção
, sua equação paramétrica é
Substituindo
e
, obtemos