Sejam A, B e C os vértices de um triângulo, e, r a reta quem contém a bissetriz do ângulo interno do vértice A. Mostre que a equação de r é dada por X=A+t(B-A|B-A|+C-A|C-A|).

Passo 1

O enunciado pede a equação paramétrica da reta que passa por A e é a bissetriz do ângulo interno ang<= BAC. O conteúdo essencial é mostrar que o vetor direção dessa reta pode ser escolhido como a soma dos vetores unitários dfracB-Alvert B-Arvert e dfracC-Alvert C-Arvert. Para isso, vamos usar propriedades do produto escalar e o fato de que a bissetriz faz ângulos iguais com os lados AB e AC.

Passo 2

Definimos os vetores unitários
u = B - Alvert B - Arvert, v = C - Alvert C - Arvert
Esses vetores apontam, respectivamente, de A para B e de A para C, ambos com norma igual a 1.

Passo 3

Mostramos que o vetor u+v forma com u o mesmo ângulo que forma com v. De fato, pelo produto escalar,
(u+v)cdot u = ucdot u + vcdot u = 1 + (vcdot u),
(u+v)cdot v = ucdot v + vcdot v = (ucdot v) + 1
Como (vcdot u)=(ucdot v), segue
(u+v)cdot u = (u+v)cdot v
Isso implica que o ângulo entre u+v e u é igual ao ângulo entre u+v e v, logo u+v é direção da bissetriz de ang<= BAC.

Passo 4

Como a reta bissetriz parte de A e tem direção u+v, sua equação paramétrica é
X = A + t,(u+v), tinR
Substituindo u e v, obtemos
X = A + tl(B-Alvert B-Arvert + C-Alvert C-Arvertr)

Resposta

X = A + tl(B-Alvert B-Arvert + C-Alvert C-Arvertr), tinR

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