Sejam r e s , respectivamente, as retas reversas X=(1,0,-1)+t(2,1,1) e X=(-3,2,0)+t(-1,0,2). Calcule a distância entre r e s, e, determine a reta t simultaneamente perpendicular a r e a s.

Passo 1

Resumo do enunciado: Dadas as retas
rcolon X=(1,0,-1)+t,(2,1,1)
e
scolon X=(-3,2,0)+t,(-1,0,2),
queremos (a) a distância entre r e s e (b) a reta t simultaneamente perpendicular a r e a s. Para isso usaremos produto vetorial para obter a direção da perpendicular comum e a fórmula da distância entre retas reversas.

Passo 2

Calcule o vetor normal comum via produto vetorial dos vetores direção de r e s:
dr=(2,1,1), ds=(-1,0,2),
n = dr times ds = i & j & k 2 & 1 & 1 -1 & 0 & 2 = (2,,-5,,1)
O módulo de n é
|n| = raiz2^2 + (-5)^2 + 1^2 = raiz30

Passo 3

Use a fórmula da distância entre retas reversas:
dist(r,s) = l|,(Ps - Pr)cdot nr||n|,
onde Pr=(1,0,-1) e Ps=(-3,2,0). Então
v = Ps - Pr =(-4,2,1),
vcdot n = (-4,2,1)cdot(2,-5,1) = -8 -10 +1 = -17,
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dist(r,s) = |-17|raiz30 = 17raiz30

Passo 4

Para achar a reta perpendicular a r e s, determinamos pontos Ain r e Bin s tais que ABperp dr e ABperp ds. Escreva
A=(1,0,-1)+u,(2,1,1), B=(-3,2,0)+v,(-1,0,2),
e imponha
ABcdot dr=0, ABcdot ds=0
Resolvendo o sistema, obtém-se
u = -56, v = -65

Passo 5

Calculando A com u=-tfrac56:
A=l(1-tfrac53,,-tfrac56,,-1-tfrac56r) =l(-tfrac23,,-tfrac56,,-tfrac116r)
Como AB é paralelo a n=(2,-5,1), a reta t desejada é
tcolon X = l(-tfrac23, -tfrac56, -tfrac116r) + lambda,(2,-5,1)

Resposta

Distância entre r e s: 17raiz30.
Reta simultaneamente perpendicular a r e s:
X = l(-tfrac23, -tfrac56, -tfrac116r) + lambda,(2,-5,1)

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