Ache a equação da reta tangente a curva
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente à curva definida por
no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, mais especificamente a diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente mesmo quando a equação da curva não está resolvida para
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a diferenciação. A equação dada é:
Podemos reescrever a raiz quadrada como potência de
:
Passo 3
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 4
Expandindo o lado direito:
Passo 5
Agora, vamos colocar tudo para um lado da equação para facilitar a diferenciação:
Passo 6
Vamos diferenciar ambos os lados em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 7
Calculando cada derivada:
Passo 8
Substituindo as derivadas na equação:
Passo 9
Vamos organizar os termos com
de um lado e os demais do outro:
Passo 10
Fatorando
:
Passo 11
Isolando
:
Passo 12
Agora, vamos substituir o ponto
na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Substituindo:
Calculando cada parte:
Então,
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é: