Ache a equação da reta tangente a curva
raiz(x * y^3) = 1 + 2 * x^2 * y
no ponto 1/2,2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de derivada, mais especificamente a diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente mesmo quando a equação da curva não está resolvida para .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a diferenciação. A equação dada é:
Podemos reescrever a raiz quadrada como potência de :

Passo 3

Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 4

Expandindo o lado direito:

Passo 5

Agora, vamos colocar tudo para um lado da equação para facilitar a diferenciação:

Passo 6

Vamos diferenciar ambos os lados em relação a . Lembrando que é uma função de , usamos a regra do produto e a regra da cadeia:

Passo 7

Calculando cada derivada:

Passo 8

Substituindo as derivadas na equação:

Passo 9

Vamos organizar os termos com de um lado e os demais do outro:

Passo 10

Fatorando :

Passo 11

Isolando :

Passo 12

Agora, vamos substituir o ponto na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Substituindo:
Calculando cada parte:
Então,

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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